计算机数学基础 -何春江 第7章多元微积分.pptVIP

第7章 多元函数微积分 第7章 多元函数微分学 7.2 多元函数的概念、极限与连续 7.3 偏导数与全微分 7.4 多元复合函数与隐含数的微分法 7.5 二元函数的极值与最值 7.5.3 条件极值 7.6 二重积分 其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积. (2)近似 记 为 的直径 (即 表示 中任意两点间距 离的最大值)，在 中任取一 点 ,以 为高而底 为 的平顶柱体体积为 解 (1)分割 用两组曲线把区域D任意分割成n个小块: 此为小曲顶柱体体积的近似值 Δσi (4) 取极限 记 ,若极限 存在,则它即为所求曲顶柱体的体积. (3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲 顶柱体体积的近似值为 二重积分的定义 定义 设f (x,y)是定义在闭区域D上的有界函数. 把区域 D 任意分割成n个小区域: 其 中 表示第i个小区域(i=1,2,...,n),也表示其面积.在每个小 区域 上任取一点 ,作和 若 为 的直径，记 ,若极限 存在,则称为函数 在区域D上的定积分,记 即 其中f (x,y) 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为面积元素, x 和y 称为积分变量, 称为积分和. 由以上定义知,曲顶柱体的体积 注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径 时积分和有惟一确定的极限,极限值与D的分法和 的取法无关. 区域有关而和积分变量无关. (2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分 二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可积. 7.6.2 二重积分的几何意义： (1) 若在D上f(x,y)≥0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积. (2) 若在D上 f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方 二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积. (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减 去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 7.6.3 二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即 性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 性质3 若D 可以分为两个区域D1，D2，则 性质5 若在积分区域D上有f(x,y)=1，则 性质4 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有 表示D的面积) 性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在D上存在点 ，使 性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，则 表示D的面积) 表示D的面积) 上式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值. 例1 设D是圆域： ，证明 解 在D上， 的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4π–π=3π.由估值公 式(3)得 1.直角坐标系下二重积分的计算 二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法. 在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有 即 7.6.4 二重积分的计算 假定函数 在有界闭区域D上连续,且在D上 , 1.当D为矩形区域时, ,a,b,c,d 为常数), 表示以f (x,y)为顶,区域D为底的 曲顶柱体的体积V. 任取 ,用过点 x且垂直于x 轴的平面截曲顶柱体,则可得到一曲边梯形,其面