计算机仿真技术 作者 郝培锋 崔建江 潘峰 第3章1.pptVIP

阿达姆斯隐式积分公式(Adams-moulton公式) 式中，系数cj可计算结果列于表2-4。 和阿达姆斯显式积分解法类似，为了近似计算积分 可用r+1个点(tm+1，ym+1)，(tm，ym)，…，(tm-r+1，ym-r+1)构成一个多项式Qr(t)来逼近函数f(t,y)，则可得 将式(27)代入(29)可得Adams隐式一般形式： （29） 式中，r1为隐式公式Adams系数，如表2-5所示。 （30） 由式(30)可知，计算ym+1时所需的信息包含(k+1)计算点的导数值fm+1，故为隐式。 阿达姆斯法是多步算法，不能自启动，开始几步要用单步法直至所需的前几点信息全部获得后才开始正式启动阿达姆斯法。 阿达姆斯法的截断误差可用下式来估计： 式中， 为所取逼近多项式时刻范围内函数的导数，h为计算步长，Br为截断误差函数。 显式阿达姆斯法和隐式阿达姆斯法的截断误差系数列于表2-6。显然，隐式Adams法比显式的精度高。 预估－校正公式(Adams-Bashforth-Moulton公式) 隐式Adams法具有较高精度，但要提供首次估值，这可以由显式Adams公式来完成，称为“预估”。然后，用隐式Adams公式进行迭代运算，直至达到一定精度要求为止，这称为“校正”。 Y(i)m+1为ym+1的第i次迭代计算结果，或者将上式差分展开和整理并项后得 这里 （34） （35） （36） 式中，y(i)m+1为函数f(t，y)的第(m+1)时刻点的迭代值。 例如，当r=3时，预估－校正公式为： ，（37） ，（38） ，（39） ，（40） 3.4 积分计算稳定性 常微分方程的数值积分法，实质上就是将微分方程差分化，然后从初值开始，逐步进行迭代运算。显然，要保持迭代运算正常进行下去，首先必须保持这一数值解法的稳定性。用差分方程来代替微分方程，用差分方程的解作为微分方程的近似解．这里存在一个所选定的差分方程对存在的扰动(如初值误差、舍入误差等)是否敏感，即在这些扰动影响下，计算误差是逐渐减小还是无限增大。若计算误差随递推计算过程逐渐减小或有限的，称为稳定的，否则是不稳定的。同一微分方程，由于采用的数值积分方法不同，差分方程不同，稳定性也不同。而一个数值解是否稳定，决定于该差分方程的特征根是否满足稳定要求。为了说明这个问题，讨论一简单的微分方程 式中，x为方程特征根且具有下面形式 （46） （47） 下面采用几种数值积法求解并进行稳定性分析。 1、欧拉前差公式 差分方程 （48） 代入式（46）得 （49） 两边进行z变换，则得 ，（50） 差分方程的特征根为 z-(1+ h)=0，（51） 由差分方程稳定性条件得 (52) 式（52）所对应的差分方程稳定解区域如图4（a）所示。稳定区域边缘长度称为稳定半径rK，这里rK=2。 将式(47)代入式（52）可得 ，（53） 即 式（55）表明，在[ ]平面上，欧拉前差法稳定区域为一个圆，圆心为（- ，0），半径为 如图4（b）所示。很明显，欧拉前差算法的稳定条件是 ，（56） 或 ，（55） ，（54） ，（57） （66） 3.5 数值积分方法的选择与计算步距的确定 一 计算精度 数值积分法的离散数值解只是精确解的近似，必然存在误差。数值积分计算的误差来自两个方面：一是舍入误差；二是局部截断误差。 舍入误差是由于计算机的位数有限，计算时必然舍去精确值的某个小值而引起的误差。舍入误差每次计算时均会发生，因此计算次数增加，会使舍入误差的积累值增大，舍入误差和计算步长h成反比。因为过小的计算步长会引起汁算次数增加，从而使舍入误差增大。 局部截断误差是由积分方法和阶次的限制而引起的误差。 数值积分计算的综合误差为舍入误差和局部截断误差之和，如图3可见，存在一个最优的积分步长h，使计算误差e最小。 图3 误差与积分步长 积分步长的选择与控制 积分步长h选择应在保证数值积分计算稳定性和精度前提下，尽可能选择较大的积分步长，以减少仿真计算次数，缩短仿真时间。 积分步长选择还与被仿真系统的快速性有关，有一些推荐的经验公式，如 tr为系统阶跃响应上升时间；wc为系统幅值穿越频率。 或 ，（41） ，（42） 数值积分计算时，积分步长有固定步