概率论与数理统计初步 作者 郭明普 第一章 概 率 论.ppt

第七节　随机变量的数字特征 例3　甲、乙两工人一个月中出现废品数的概率分布如下表，判断谁的技术更高些. 表格 解　E(X)＝0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.例4　设随机变量X服从区间［a，b］上的均匀分布，即(a，b)，求X的数学期望.解　因为f(x)＝１/b-a，所以 第七节　随机变量的数字特征 例5　如果连续型随机变量X的密度函数为解　Ｅ(Ｘ)＝∫+∞-∞xf(x)dx＝∫＋∞０λxe-λxdx＝-∫＋∞０xde-λx＝［-xe-λx］+∞０+∫+∞０e-λxdx=-１λe-λx＋∞０＝１λ.2.数学期望的性质　　由数学期望的定义可得如下性质：(１)Ｅ(Ｃ)＝Ｃ(Ｃ为常数).(２)Ｅ(ＣＸ)＝ＣＥ(Ｘ).(３)Ｅ(Ｘ±Ｙ)＝Ｅ(Ｘ)±Ｅ(Ｙ).(４)若Ｘ、Ｙ是相互独立的随机变量，则 第七节　随机变量的数字特征 二、随机变量的方差1.方差的概念　　数学期望反映了随机变量取值的平均情况，为了能对随机变量的变化情况做出更全面、准确的描述，人们还希望知道随机变量对期望值的偏离程度究竟有多大.例6　设甲、乙两门炮射击时，着弹点与目标的距离分别为随机变量Ｘ，Ｙ，且各自的概率分布为： 第七节　随机变量的数字特征 表格 表格 解　Ｅ(Ｘ)＝１/５(８０＋８５＋９０＋９５＋１００)＝９０.例6中随机变量X、Y的方差分别为：(1)如果离散型随机变量X的分布列为(2)如果连续型随机变量X的密度函数为f(x)，则 第七节　随机变量的数字特征 例7　设随机变量X的分布列为P(X=0)=0.7，P(X=1)=0.3，求D(X).解　X服从的是两点分布，由例2知，E(X)＝0.3.于是例8　设X～N(μ，σ2)，求E(X)及D(X).解　X的分布密度为2.方差的简单性质　　由方差的定义可知方差具有以下性质：(1)D(C)＝０，(C为常数).(2)D(CX)=C２D(X)，(Ｃ为常数).(３)Ｄ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｄ(Ｘ)＋Ｄ(Ｙ)例9　已知互相独立的变量X、Y的概率分布如下： 第七节　随机变量的数字特征 表格 表格 解　Ｅ(Ｘ)＝０×０.３＋１×0.1＋２×0.2＋３×0.4＝１.７.三、常见随机变量分布表达式及数字特征　　根据均值和方差的计算公式，很容易求得常见随机变量的均值和方差.为学习方便，将常见随机变量分布表达式及数字特征列于表1?1． 第七节　随机变量的数字特征 表1-1　常见随机变量分布表达式及数字特征 1.设随机变量X的分布列为： 第七节　随机变量的数字特征 表1-1　常见随机变量分布表达式及数字特征 2.已知X～(0，1)且P(X=0)=0.2，求X的数学期望及标准差.3.连续投掷10次硬币，求出现正面次数的均值及方差.4.设离散型随机变量X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，若数学期望E(4X-1)=7，求参数λ.5.某超市采购2000件某种商品，这种商品在运输途中损坏的概率为0.002，求超市收到的这批商品的损坏数的均值及方差.6.假定每人生日在各个月份的机会是等同的，求10个人中生日在第二季度的平均人数. 第七节　随机变量的数字特征 　　?数学史料一、历史背景　　17、18世纪，数学获得了巨大的进步.数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整的数学分支.除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期“使欧几里得几何相形见绌”的若干重大成就之一.二、概率论的起源 第七节　随机变量的数字特征 　　概率论起源于对赌博问题的研究.早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还有与当时的人口、保险业等有关的内容，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了. 表格 三、概率论在实践中曲折发展 第七节　随机变量的数字特征 　　在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质.后来由于许多社会问题和工程技术问题，如人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等的研究，促进了概率论的深化和发展.从17世纪到19世纪，伯努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了深刻的研究和杰出的贡献.在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度.但是，随着概率论的各个分支领域获得大量进展和成果，以及在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象.到20世纪初，概率论的一些基本概念尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，仍然缺乏严格的理论基础. 第七节　随机变量的数字特征 四