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洛阳师范学院 解 析 几 何 张 之 正 Email:zzzhang@lynu.edu.cn August 23, 2011 张 之 正 解 析 几 何 Mathematical Science College 数学科学学院 §2.2 曲面的方程 1. 曲面的方程 空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达.因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立. 定义2.2.1 1. 曲面的方程 如果曲面 与三元方程 有下述关系： 以下给出几例常见的曲面. 例 题 例2 求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程. 例3 求坐标平面yOz 的方程. 例4 一平面平行于坐标平面xOz，且在y 轴的正向一侧与平面xOz 相隔距离为k ，求它的方程. 例5 设球面的中心是点C（a,b,c），而且半径等于r ，求它的方程. 例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程. 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． 1. 曲面的方程 例 题 思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？ 思考题解答 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线 方程 思考题 设在两个变数 的变动区域内定义了双参数向量函数 当 取遍变动区域的一切值时，其终点 2. 曲面的参数方程 （2.2-3） （2.2-4） （ ）所画轨迹一般为一 曲面(图2-9). 或 把表达式（2.2-4）叫做曲面的向量参数方程，其中 定义2.2.2 如果 （ 一切可能取的值，由（2.2-4）表示的向径 的终点 这个曲面上的任意点 点的径矢，且此向径可由 的值 为参数. ） 总在一曲面上；反过来， 总对应着以它为终 ）通过（2.2-4）完全决定，那么 2. 曲面的参数方程 （ 因为向径 的分量为 所以曲面的参数方程可写为 表达式（2.2-5）叫曲面的坐标式参数方程. （2.2-5） ， 2. 曲面的参数方程 例3 求中心在原点，半径等于 的球面的参数方程 . 解 设 是球面上的任意一点， 在 xoy 面上的射影为P ，而 P在x轴上的射影为 Q 设 ，OZ轴与 的夹角 （图2-10）， O P Q M x y z 例 题 那么 且 ， ， ， 所以 . 即为该球面的向量式参数方程. 其坐标式参数方程为 （2.2-6） 其中 是参数，且 . 例 题 3 球坐标系与柱坐标系 1）球坐标系 洛阳师范学院 解 析 几 何 张 之 正 Email:zzzhang@lynu.edu.cn August 23, 2011 * *