数值分析课后答案03.doc

第三章习题解答 1.试讨论a取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解 。 解： 1 经初等行变换化为 当时，方程组有解，解为 2 经初等行变换化为 当时，方程组有解，解为 2.证明下列方程组Ax b 当（1）时无解；（2）时有无穷多组解。 解： 1 r A 3r A,b 4 当时无解； 2 r A 3,r A,b 3 当时有无穷多组解。 3.用列主元高斯消元法求解Ax b 1 x 2,-2,1 T 2 x 0,-7,5 T 4.证明上（下）三角方阵的逆矩阵任是上（下）三角方阵。 证明：设是上（下）三角方阵，即 设A的逆为其中为的代数余子式， 由于是上三角方阵，所以 当时，所以为上三角方阵。 5.用Gauss-Jordan法求解下列矩阵的逆矩阵。 解 1 6.以已知矩阵A ，试对A进行cholesky分解A L1L1T,并利用分解因子阵L1求A的逆矩阵A-1 L-1 T L-1 . 解: A j 1时,l11 1,l21 2, l 31 6 j 2时, l 22 1, l 32 a32- l 31 l 21 / l 32 3; j 3时, l 33 1 L L-1 A-1 L-1 T L-1 7.已知线性方程组 试用Cholesky分解求解问题（1），用对称分解求解问题（2）。 解: A LLT 解Ly b, 得 y [2.1213,-1.2247,-0.0000]T 解LTx y 得 x [1,-1,0] T （2） A LDLT 解Lz b, 得 z [ 2.0000,0.6000,-0.7143, 0.8334]T 解Dy z, 得 y [ 0.4000,0.2143,-0.3333,0.9999] T 解LTx y 得 x [1,1,1,1] T 8．设A是对称正定阵，试证明不选主元的Cholesky分解的计算过程是数值稳定的。 证明： 综合以上得到结论：在Cholesky分解中，不选主元的计算分解式的元素的数量级不会增长，能得到控制，且恒正，因此，这是一个节省储存且计算过程是数值稳定的方法。 9. 求解以下三对角方程组 1 解: A LU 解Ly b, 得 y [1.0000，2.4999，-0.3333，-1.2500]T 解Ux y 得 x [1,1，-1,-1] T 2 解: A LU 解Ly b, 得 y [1，2.5，-2，-2]T 解Ux y 得 x [0.7778，0.5556，-1.6667，-1.3333] T 10. 证： 11．试求解周期三对角方程组 解： 12．试计算 13．为正整数，求 14. 设方程组Ax ，其中A ， 计算，判断方程组是否病态。 用全主元消元法求解，结果如何？ 用105除第一个方程所得方程组是否病态？ 解： 105+1 又 （1+105） 〉〉1 该方程组是病态 用全主元消元法求解。 〉〉1 出现大数吃小数的现象，结果失真。 用105除第一个方程得：A1 ， 方程组是良态的。 15．设n阶对角矩阵,试计算det A 和 cond A 2结果说明什么。 解： 行列式小并不能说明矩阵是病态的。 16. 已知（2.0，0.1）T是以下方程组的计算解， （1.0，1.0）T是精确解， 求剩余，，，并分析此结果。 解：（1） （2） （3） （4） 由计算可知道，该方程组是病态的，相对剩余量为0.053，相对误差为0.95。由于相对误差很大，所以相对剩余量虽小，并不能 反映近似解的近似程度。 17．有线性方程组Ax b，其中 试对A作QR分解（不限方法），并利用A的QR分解求解此方程组。 解: 解Qy b, 得 y [ 10 -5 -5]T 解Rx y 得 x [ 1 -1 1] T 18. 设非奇异，有扰动使，若是方程组的解，是方程组的解，，试证明： 证明： 19．设方程组的系数矩阵分别为 考察求解此方程组的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。 解：Jacobi迭代不收敛。 Gauss-Seidel迭代收敛。 Jacobi迭代收敛。 Gauss-Seidel迭代收敛。 设方程组 若用迭代法和迭代法求解方程组是否收敛？ 若将方程组交换方程次序如何？ 解： ① 用迭代法： BJ D-1（L+U） 所以迭代法发散。 迭代法： BG （D-L）-1U 所以迭代法发散。 ②交换次序，则 用迭代法： BJ D-1（L+U） 所以迭代法收敛。 迭代法： BG （D-L）-1U 所以迭代法收敛。 21. 已知方程组 若用Jacobi迭代法和Gauss-S