弹性力学(徐芝纶)部分习题答案.doc

第一章 第二章习题答案 2-1解：已知 验证平衡微分方程： 代入，均满足。 2）验证相容方程： 亦满足。 3）验证应力边界条件： （*） 由问题的受力特征，在边界上任一点均有： 代入（*）式，可见二式均满足。 4）验证位移单值条件： 因问题可以含孔口边界，属多连体。由物理、几何方程得： 类似于教材题2-3，可求出 从表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。 综合1）～4）， 2-2、解： 设图示坐标系，根据“材力”公式可知：（取单宽b=1） = 又： 验证平衡方程： 注意：，代入均满足。 2）验证相容方程： 亦满足。 3）验证应力边界条件： i) 主要边界： 满足 ii) 次要边界： （1）、（2）满足，（3）式 左= 结论：所列满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。 2-3、证明：1）由则平衡微分方程为： （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为： 即： 对于平面应力问题，相容方程为： 即： 对于平面应变问题， 2-4、证明：因为两个应力主向相互正交，故将x, y轴分别置于两个应力主向上（如图） 则斜面上的正应力（） = （*） 在发生最大与最小切应力的面上，其外法线与应力主向成450角， ，代入（*）式得 得证。 第三章 习题解答 3-3、 解： 1、设应力分量 由x=0，x=h边界上的受力情况，假设 则： 得： 2、代入相容方程 由 得： 从而： 注：公式中已略去中与应力分量无关的一次项和常数项。 3、求应力分量 4、考察应力边界条件 1）主要边界： （1）、（3）两式满足，由（2）式得 C=0 由（4）式得 3Ah2+2Bh=-q (5) 2) 次要边界 由（6）式：6Ex+2F=0 (8) (8)式对任意x均成立，必须 E=F=0 由（7）式：3Ax2+2Bx=0 (9) 欲使（9）式成立，则需A=B=0与（5）式相矛盾，表明（7）式不能严格满足，改用圣维南原理，得： 有：Ah3+Bh2=0 (10) 联立求解（5）、（10）得： 5、得应力分量 为本问题的应力解答。 注：（1）此例要求坚柱高度远大于宽度，以保证柱顶面为小边界。 （2）底面固定端用圣维南原理肯定满足应力边界条件。 3-5、 解：1、设应力函数 根据题设要求，设 2、验证相容方程 将代入，经验证满足 3、求应力分量 4、考察应力边界条件 上边界： 代入得 6ax=0, -2bx=0, 得a=b=0 斜边界： 此处： 将代入（1），（2）可求得 5、得应力分量 注：此例中固定端若用圣维南原理校核其应力边界条件，肯定满足，因此，解答要求梁足够长且角不能很大，以保证固定端为小边界。 第四章 习题解答 4-13、解： 本题为轴对称应力问题，相应的径向位移为： (1) 轴对称应力通式为 由应力边界条件 并结合位移单值条件可知B=0，求得： 因半径的改变与刚体位移I，K无关，且为平面应变问题，将A、B、C代入（1）式，并将 得： 内半径的改变： 外半径的改变： 圆筒厚度的改变： 4-3另解：半径为r的圆筒周长为， 受载后周长则为 ， 于是半径为 ，半径的改变量则为： 将对应的A、C及r=a,b分别代入，可求出内外半径的改变及圆筒厚度的改变。 4-4、解：本题为轴对称应力问题，由位移单值条件可知B=0 考察边界条件： 又r=b以外为刚体，故有 上述两式对任意的均应成立， （2） 联立求解（1），（2）可得A，C及欲求的应力