高考数学 高考必会题型 专题三 函数与导数 第10练 化解抽象函数快捷有效的几个途径.docVIP

第10练　化解抽象函数快捷有效的几个途径 题型一　与抽象函数有关的函数性质问题 例1　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件． 破题切入点　周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件． 答案　充要 解析　f(x)在R上是偶函数， f(x)的图象关于y轴对称． f(x)为[0,1]上的增函数， f(x)为[－1,0]上的减函数． 又f(x)的周期为2， f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数． f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2， f(x)为[－1,0]上的减函数． 又f(x)在R上是偶函数， f(x)为[0,1]上的增函数． 由知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件． 题型二　与抽象函数有关的函数零点问题 例2　设函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，则方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根的个数为________． 破题切入点　将条件转化为我们所熟悉的知识． 答案　805 解析　f(7－x)＝f(7＋x)＝f(2＋(5＋x))＝f(2－(5＋x))＝f(－3－x)， 即f(x＋10)＝f(x)，所以函数的周期为10， 且对称轴为x＝2，x＝7，在[0,10]内， f(1)＝f(3)＝f(11)＝f(13)， 所以一个周期内只有2个零点， 在[0,2 011]内2 011＝201×10＋1有201×2＋1＝403个， 在[－2 011,0]内－2 011＝201×(－10)－1， 有201个周期且f(－1)≠0，此时有201×2＝402个零点，合计805. 题型三　与抽象函数有关的新概念问题 例3　设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足： 对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)V，以及任意λR，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)， 则称映射f具有性质P， 现给出如下映射： f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)V； f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)V； f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)V. 其中，具有性质P的映射为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 破题切入点　准确把握性质P的含义． 答案　 解析　a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)． 对于，f1(m)＝x－y， f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)·y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)， 而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)， f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)， 具有性质P. 对于，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3， 而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)， 又λ是任意实数， f(λa＋(1－λ)b)≠λf(a)＋(1－λ)f(b)， 故不具有性质P. 对于，f3(m)＝x＋y＋1， f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1 ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1， 又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1) ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ) ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1， f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)． 具有性质P. 综上，具有性质P的映射的序号为. 总结提高　(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质． (2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法． 1．设f(x)为偶函数，对于任意的x0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)＝________. 答案　－8 解析　∵f(x)为偶函数， f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)， 当x＝1时，f