高考数学 压轴大题突破练 直线与圆.docVIP

中档大题规范练——直线与圆 1．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)． (1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程． (2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值． 解　(1)由条件知点M在圆O上， 所以1＋a2＝4，则a＝±. 当a＝时，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－， 此时切线方程为y－＝－(x－1)． 即x＋y－4＝0， 当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝. 此时切线方程为y＋＝(x－1)．即x－y－4＝0. 所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0. (2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)， 则d＋d＝OM2＝3. 又有AC＝2，BD＝2， 所以AC＋BD＝2＋2. 则(AC＋BD)2＝4×(4－d＋4－d＋2·) ＝4×[5＋2] ＝4×(5＋2)． 因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤， 当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤， 所以(AC＋BD)2≤4×(5＋2×)＝40. 所以AC＋BD≤2， 即AC＋BD的最大值为2. 2．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8. (1)设点Q(x，y)是圆C上一点，求x＋y的取值范围； (2)在直线x＋y－7＝0上找一点P(m，n)，使得过该点所作圆C的切线段最短． 解　(1)设x＋y＝t，因为Q(x，y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切， 即≤2，解得－5≤t≤3， 即x＋y的取值范围是[－5,3]． (2)因为圆心C到直线x＋y－7＝0的距离 d＝＝42＝r， 所以直线与圆相离，因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为定值；所以只有当过圆心向直线x＋y－7＝0作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即为所求． 设过圆心作直线x＋y－7＝0的垂线为x－y＋c＝0. 又因为该线过圆心(－1,0)， 所以－1－0＋c＝0，即c＝1， 而x＋y－7＝0与x－y＋1＝0的交点为(3,4)， 即点P坐标为(3,4)． 3．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程． 解　(1)如图所示，AB＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16， 圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CDAB， 又AD＝2，AC＝4. 在RtACD中，可得CD＝2. 设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由点C到直线l的距离公式：＝2， 得k＝. 故直线l的方程为3x－4y＋20＝0. 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. 所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)， 则CDPD，即·＝0， (x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0， 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 4．a为何值时，(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？ (2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？ 解　(1)当a＝0时，两直线的斜率不存在， 直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时，l1l2. ②当a≠0时，l1：y＝－x＋， l2：y＝x－， 直线l1的斜率为k1＝－， 直线l2的斜率为k2＝， 要使两直线平行，必须 解得a＝. 综合可得当a＝0或a＝时，两直线平行． (2)方法一　当a＝0时，直线l3的斜率不存在， 直线l3：x－1＝0，直线l4：y－＝0，此时，l3l4. ②当a≠0时，直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋，直线l3的斜率为k3＝－，直线l4的斜率为k4＝－，要使两直线垂直，必须k3·k4＝－1， 即－·＝－1，不存在实数a使得方程成立． 综合可得当a＝0时，两直线垂直． 方法二　要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A1A2＋B1B2＝0，即2a＋2a＝0，解得a＝0，所以，当a＝0时，两直线垂直． 5．已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围． 解　将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝， 0， ∴圆心C的坐标为(－，－1)，半径r＝. 当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线， ACr， 即 ， 化简得a2＋a＋90. 由得－a， a的取值范围是－a. 6．已知以点C(t，)(tR，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．