高三数学一轮基础巩固 第12章 第5节 数学归纳法 理（含解析）北师大版.docVIP

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第12章 第5节 数学归纳法(理) 北师大版 一、选择题 1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(nN＋)，则f(1)为(　　) A．1 B． C．1＋＋＋＋ D．非以上答案 [答案]　C [解析]　等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C． 2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋(nN＋)成立，其初始值至少应取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 [答案]　B [解析]　由Sn＝得n7，又nN＋， 所以n≥8. 3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____________(　　) A． B．π C．π D．2π [答案]　B [解析]　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 4．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(nN*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　) A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 [答案]　D [解析]　由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1. 5．对于不等式≤n＋1(nN＋)，某人的证明过程如下： 1°当n＝1时，≤1＋1，不等式成立. 2°假设n＝k(kN＋)时不等式成立，即k＋1，则 n＝k＋1时，＝ ＝＝(k＋1)＋1. 当n＝k＋1时，不等式成立. 上述证法(　　) A．过程全都正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 [答案]　D [解析]　本题的证明中，从n＝k到n＝k＋1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题． 6．下列代数式(其中kN＋)能被9整除的是(　　) A．6＋6·7k B．2＋7k－1 C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k) [答案]　D [解析]　(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假设当k＝n(nN＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36. 这就是说，k＝n＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，命题对任何kN＋都成立． 二、填空题 7．(2014·陕西高考)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，nN＋， 则f2014(x)的表达式为________． [答案]　 [解析]　考查归纳推理． f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝， f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…， f2014(x)＝. 8．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(kN＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真． [答案]　2k＋1 [解析]　n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立． 9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(nN＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为________． [答案]　2(2k＋1) [解析]　当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代数式是＝2(2k＋1)． 三、解答题 10．(2014·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，nN*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； (2)求数列{an}的通项公式． [解析]　(1)a1＝S1＝2a2－3×12－4×1＝2a2－7 a1＋a2＝S2＝4a3－3×22－4×2＝4(S3－a1－a2)－20＝4(15－a1－a2)－20， a1＋a2＝8 联立解得，a3＝S3－a1－a2＝15－8＝7， 综上a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)由(1)猜想an＝2n＋1，以下用数学归纳法证明： 由(1)知，当n＝1时，a1＝3＝2×1＋1，猜想成立； 假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝2k＋1， Sk＝3k＋×2＝k2＋2k， 又Sk＝2kak＋1－3k2－4k， 2kak＋1－3k2－4k＝k2＋2k， ak＋1＝2k＋3， 即n＝k＋1时，有ak＋1＝2(k＋1)＋1成立． 由数学归纳法原理知，an＝2n＋