《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直接证明和间接证明(含解析).docVIP

第六节直接证明和间接证明 [知识能否忆起] 直接证明内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止． 实质 由因导果(顺推证法) 执果索因 框图表示 … … 文字语言 因为…所以…或由…得… 要证…只需证…即证… 二、间接证明 反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法． [小题能否全取] 1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　) A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 解析：选B　假设为“三个内角都大于60°”． 2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(　　) A．a＞b　　　　　　　　　　B．a＜b C．a＝b D．a≤b 解析：选A　a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b＝ex＜1，则a＞b. 3．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了(　　) A．分析法　　　　　　　　B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法 解析：选B　因为证明过程是“从左往右”，即由条件结论． 4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是________． 解析：“如果ab，那么”若用反证法证明，其假设为≤ . 答案：≤ 5．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________． 解析：a＋b＞a＋b(－)2(＋)＞0a≥0，b≥0且a≠b. 答案：a≥0，b≥0且a≠b1.证明方法的合理选择 (1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法． (2)当题目条件较少 ，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述． 2．使用反证法的注意点 (1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义； (2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾． 综　合　法 典题导入 [例1]　(2011·大纲全国卷)设数列{an}满足a1＝0且－＝1. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，记Sn＝k，证明：Sn1. [自主解答]　(1)由题设－＝1， 得是公差为1的等差数列． 又＝1，故＝n.所以an＝1－. (2)证明：由(1)得 bn＝＝＝－， Sn＝k＝＝1－1. 由题悟法 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性． 以题试法 1．(理)(2012·东北三校模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx －x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线． (1)求a，b； (2)证明：f(x)≤g(x)． 解：(1)f′(x)＝， g′(x)＝b－x＋x2， 由题意得解得a＝0，b＝1. (2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x) ＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)． h′(x)＝－x2＋x－1＝. h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)． (文)设f(x)＝ex－1，当x＞－1时，证明： f(x)＞. 证明：当x＞－1时，要使f(x)＞，即ex－1＞＝2x－1，当且仅当ex＞2x，即ex－2x＞0， 令g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2， 令g′(x)＝0，得x＝ln 2. 当x(－1，ln 2)时，g′(x)＝ex－2＜0，故函数g(x)在(－1，ln 2)上单调递减；当x(ln 2，＋∞)时， g′(x)＝ex－2＞0，故函数g(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增． 所以g(x)在(－1，＋∞)上的最小值为g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0. 所以在(－1，＋∞)上有g(x)≥g(ln 2)＞0.即ex＞2x. 故当x(－1，＋∞)时，有f(x)＞. 分　析　法 典题导入 [例2]　ABC的三个内角A，B，C成等差数列，