《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解双曲线.docVIP

双_曲_线 [知识能否忆起] 1．双曲线的定义 平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 －＝1(a0，b0) －＝1(a0，b0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 通径 过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(ca0，cb0) [小题能否全取] 1．(教材习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为(　　) A.　　　　　　　　　B. C. D. 解析：选C　双曲线方程可化为x2－＝1， a2＝1，b2＝.c2＝a2＋b2＝，c＝. 左焦点坐标为. 2．(教材习题改编)若双曲线－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为(　　) A. B. C. D．2 解析：选C　依题意得a2＋1＝4，a2＝3， 故e＝＝＝. 3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 解析：选C　由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所以PF1F2为直角三角形，所以PF1F2的面积S＝×6×8＝24. 4．双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________． 解析：由题意知＝ ＝2，解得a＝，故该双曲线的渐近线方程是x±y＝0，即y＝±x. 答案：y＝±x 5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________. 解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支， c＝5，a＝4，b＝3，e＝＝，|k|＝. |k|·e＝×＝. 答案： 1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e(0,1)． 2．渐近线与离心率： －＝1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． [注意]　当ab0时，双曲线的离心率满足1e； 当a＝b0时，e＝(亦称为等轴双曲线)； 当ba0时，e. 3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点． 双曲线的定义及标准方程 典题导入 [例1]　(1)(2012·湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　) A.－＝1　　　　　B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________． [自主解答]　(1)－＝1的焦距为10， c＝5＝. 又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，＝1，即a＝2b. 由解得a＝2，b＝. (2)不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2， 所以(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2， 又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4， 则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2. [答案]　(1)A　(2)2 由题悟法 1．应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支． 2．双曲线方程的求法 (1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn