《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直线、平面平行的判定及性质.docVIP

第四节直线、平面平行的判定及性质 [知识能否忆起] 一、直线与平面平行 1．判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行 a∥α 2．性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥b 二、平面与平面平行 1．判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 α∥β 2．两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 a∥b [小题能否全取] 1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是(　　) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析：选D　由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确． 2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题： 若ab，bα，则aα； 若ab，aα，则bα； 若aα，bα，则ab. 其中真命题的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　　　B．1 C．2 D．3 解析：选A　对于命题，若ab，bα，则应有aα或aα，所以不正确； 对于命题，若ab，aα，则应有bα或bα，因此也不正确； 对于命题，若aα，bα，则应有ab或a与b相交或a与b异面，因此也不正确． 3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　) A．lα B．lα C．l与α相交且不垂直 D．lα或lα 解析：选D　由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，lα时也成立． 4．平面α平面β，aα，bβ，则直线a，b的位置关系是________． 解析：由αβ可知，a，b的位置关系是平行或异面． 答案：平行或异面 5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________． 解析：如图． 连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE. 答案：平行 1.平行问题的转化关系： 判定性质 2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”． 3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用． 线面平行、面面平行的基本问题 典题导入 [例1]　(2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于________． [自主解答]　因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EFAC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝AC.又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.所以EF＝. [答案]　 本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN平面A1C1CA. 解：如图， GN∥平面AA1C1C， EG平面AA1C1C， 又GN ∩EG＝G， 平面EGN平面AA1C1C. 当M在线段EG上运动时，恒有MN平面AA1C1C. 由题悟法 解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意： (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确． 以题试法 1．(1)(2012·浙江高三调研)已知直线l平面α，Pα，那么过点P且平行于直线l的直线(　　) A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 解析：选C　由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为lα，所以lm，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内． (2)(2012·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2