《3.8 解三角形应用举例》 教案.docVIP

解三角形应用举例 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 新课标 课时时长 60分钟 知 识 点 长度、高度问题 方向、角度问题 方案设计问题 教学目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 教学难点 运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决实际问题的能力 教学过程 课堂导入 三角形是最基本的几何图形．三角形中的数量关系，有着极其广泛的应用．在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的测量问题．在实际工作中，我们还会遇到许多其它的测量问题，这些仅用锐角三角函数就不够了．如： 1．怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？ 2．怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？ 3．怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？ 4．怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？ 5．怎样确定航向，才能在航速一定的情况下，尽快与一运动的物体(如轮船)相遇？等等． …… 这节课我们就来 复习预习 余弦定理及其变形公式： 知识讲解 考点1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 考点2 实际应用中的常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°) 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度 例：(1)北偏东m°： (2)南偏西n°： 坡角 坡面与水平面的夹角 设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan α 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比 例题精析 【例题1】 【题干】如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB＝75°，CBA＝45°，且AB＝100 m．求该河段的宽度． 【解析】CAB＝75°，CBA＝45°， ACB＝180°－CAB－CBA＝60°. 由正弦定理得＝， BC＝. 如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度． 在RtBDC中， BCD＝CBA＝45°，sinBCD＝， BD＝BCsin 45°＝·sin 45°＝×＝ m， 该河段的宽度为 m. 【例题2】 【题干】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD. 【解析】如图如图，设CD＝x m， 则AE＝(x－20) m，tan 60°＝， 则BD＝＝＝x m. 在AEC中，x－20＝x， 解得x＝10(3＋) m， 故山高CD为10(3＋) m. 【例题3】 【题干】 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值． 【解析】如题中图所示，在ABC中，AB＝40，AC＝20，BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800BC＝20. 由正弦定理得，＝sin∠ACB＝·sinBAC＝. 由BAC＝120°，知ACB为锐角，则cosACB＝. 由θ＝ACB＋30°， 得cos θ＝cos(ACB＋30°)＝cosACBcos 30°－sinACBsin 30°＝. 【例题4】 【题干】 如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？ 【解析】 如图，连接A1B2由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10， A1A2＝A2B2. 又A1A2B2＝180°－120°＝60°， A1A2B2是等边三角形， A1B2＝A1A2＝10. 由已知，A1B1＝20，B1A1B2＝105°－60°＝45°， 在A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1A2·cos 45° ＝202＋(10)2－2×20×10×＝200， B1B2＝10.因此，乙船的速度为×60＝30海里/时． 课堂运用