《3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式》 学案.docVIP

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60 知 识 点 两角和与差的余弦公式 两角和与差的正切公式 学习目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 学习重点 学习难点 学习过程 复习预习 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 2、函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤： 法一　　　　　　　　　　　法二 知识讲解 考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β tan(α±β)＝ 考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α tan 2α＝ 三、例题精析 【例题1】 【题干】　化简下列各式： (1)； (2). 【解析】 (1)原式＝ ＝＝＝＝tan. (2)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°·＝sin 50°·＝1， cos 80°＝sin 10°＝sin210°. ∴＝＝. 【例题2】 【题干】已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值． 【解析】0＜β＜＜α＜π， －＜－β＜，＜α－＜π， cos＝ ＝， sin＝ ＝， cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝， cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－. 【例题3】 【题干】已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0βα. (1) 求tan 2α的值 ； (2)求β. 【解析】 (1)由cos α＝，0α，得 sin α＝＝ ＝. 故tan α＝＝×＝4. 于是tan 2α＝＝＝－. (2)由0βα，得0α－β.又cos(α－β)＝， sin(α－β)＝＝ ＝. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. β＝. 【例题4】 【题干】 (天津高考)已知函数f(x)＝tan. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)设α，若f＝2cos 2α，求α的大小． 【解析】(1)由2x＋≠＋kπ，kZ，得x≠＋，kZ， 所以f(x)的定义域为.f(x)的最小正周期为. (2)法一：由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α，＝2(cos2α－sin2α)， 整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． α∈，所以sin α＋cos α≠0.(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝. 由α，得2α，2α＝，即α＝. 法二：由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α， 即tan＝2sin＝2sin2， ＝4sincos. 又α∈，sin≠0. ∴＝4cos.∴cos2＝. ∵α∈，＋α∈. ∴cos＝，＋α＝. 即α＝－＝. 课堂运用 【基础】 1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝，α(0，π)，则tan α＝(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．－ C. D．1 2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 3．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是(　　) A．－1 B．1 C．2 D．4 【巩固】 4 . ＝________. 5．(2013·南通模拟)设f(x)＝＋sin x＋a2sin的最大值为＋3，则常数a＝________. 【拔高】 6．已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ. (1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cos φ的值． 7．(2013·岳阳模拟)已知向量a＝(sin ωx，cos ωx)，b＝(cos φ，sin φ)，函数f(x)＝a·b的最小正周期为2π，其图象经过点M. (1)求函数f(x)的解析式； (2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(2α－β)的值． 课程小结 1.两角和与差的三角函数公式的理解： (1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号． (2)