《安徽省安庆市2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题(详解)》.docVIP

2013年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 B D B D A B C D B C 1．解析：，故选B。 考点：复数的基本运算 2．解析：∵， ∴，故选D。 考点：集合的含义与运算。 3．解析：，∴，故选B。 考点：等差数的通项与求和。 4．解析：∵，∴，∴，故选D。 考点：向量的运算与双曲线的性质。 5．解析：由题意得： 则，可得的最小正值为，故选A。 6. 解析：∵若、、 三点共线， ∴即，故选B。 考点：向量共线的充要条件与轨迹 7．解析：由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥， 如右图所示。则外接球球心为AD的中点，故， ∴外接球的体积是。故选C。 考点：三视图与几何体体积的计算。 8．解析：∵方程的两根分别在区间和上， ∴，由线性规划知识得：的最小值为4。故选D。 考点：二次方程的根的分布和简单的线性规划。 9．解析：将极坐标方程和化为直角坐标系下的方程得： 和，由数形结合易得：这两条切线的夹角的最大值为，故选B 10．解析：设在区间上的三个零点为、、， 则， ∴ ∵、、为三个零点，∴、、互不相等，∴上式“=”不成立。 ∴，故选C11．-16； 12．6.2； ②③④ 11．解析:由 ∴ 考点:二项式定理. 12．解析:由框图知,由得:k=4. 考点: 程序框图 13．解析: ∵ 回归直线方程为,,∴样本中心点为(3,5) 又由于除去和这两个数据点后的值没有改变，所以中心点没有改变,设新的回归直线为,将样本中心点(3,5)代入解得:, 当时，的估计值为6.2. 15．解析: ①设P点的坐标为,则： ，∴①错误; ②， （∵在圆外）∴②正确 ③易知当点P在长轴的顶点上时,最小，且为锐角, ∴设的外接圆半径为,由正弦定理得: ， ∴，∴的外接圆半径的最大值为，∴③正确。 ④∵直线的方程为:……(1) 直线的方程为: ……(2) (1)(2)得∴点M的轨迹为双曲线。∴④正确。 三、解答题：16. 解： ∴ ……………12分 17. （1）证明：在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点 、为等腰直角三角形 …………2分 H为AO的中点 ………… 4分 又,平面ABCO,而平面 平面平面ABCO ………… 6分 解：分别以直线、为轴和轴，为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.则、、、.………… 8分 设平面的一个法向量， ， 类似可求得平面的一个法向量 ………… 10分 所以二面角O—DB—H的余弦值为………… 12分 18．解：（Ⅰ）该选手恰好答题4道而通过的概率……3分 （Ⅱ）由题意可知，可取的值是……4分 的分布列为 3 4 5 P ……10分 所以的数学期望为……12分 19．解：（1）由 （，∴为等差数列……3分 ∵， 又∵为正项数列，∴ ……5分 ∴ ……6分 （2）……9分 ∴ 即。……12分 注：第（2）小题也可用数学归纳法或用数列单调性加以证明，请酌情给分。 20．证明：（1）设,, 由，∴ ……3分 ∵AB的方程为： ∵，∴AB的方程为，∴直线AB恒过定点（0，1）……6分 （2）不妨设 则AB与抛物线围成的封闭区域的面积……8分 ……10分 ∵， ∴ ∴，“=”当且仅当时成立。 ∴直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为。……13分 另解：设,,AB的方程为： 联立消去y得： ∴，……3分 由 ∴，∴直线AB恒过定点Q（0，1）。……6分 （2）由（1）知AB的方程为： 不妨设，则AB与抛物线围成的封闭区域的面积……8分 ……11分 ，“=”当且仅当时成立。 ∴直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为……13分 21．证明：（1）∵ ∴……2分 ∵，∴ ∴在上为增函数，∴，∴当时，恒成立……4分 （2） ……6分 ∵，记，则 设， ∵正数，满足：，∴ 由（1）知：在上恒成立。 ∴……9分 另证：∵ 设……6分 求导得： ∵，∴，∴在上为增函数， ∴ ∴……9分 （3）结论：“对于任意的正数，，满足：， 都有”。 ……11分 证明如下：∵ 由于，，利用（2）的结论可得： 。 ∴成立。……14分 z x y O D B H C A O D B H C A C B D O A A