管窥零点交织的函数关系链.pdfVIP

第4朝 高中数学教与学 。学习指导。 管窥零点交织的函数关系链 杨玉阳 (河南省杞县高级中学 ，475200) 函数的零点问题凸显了函数的集成交融 ， (1，2)有一个实根 ：，且 。+ ：=2．．‘ )的 编织了各种类别的函数关系链，使问题富于联 周期为 4，当 ∈(2012，2014)时 ，函数 的图 系性、综合性和应用性．兹分类例说如下． 象与 ∈(0，2)时的图象一样 ．原方程在区 一 、 与周期 函数链接 。循环零点 间(2012，2014)内的实根有 2个 ，设其为 口， 例 1 若 R上的奇函数，()的图象关于 b，则 ：2013，．．·0+b：4026． 直线 =1对称 ，且当 ∈ (0，1]时 )= 1 点评 本题 中，函数 的零点 以方程 的根 log ，求方程 )=一÷ + 0)在区间 一 的形式 出现 ，通过奇偶性 和对称性与周期函 (2012，2014)内的所有实数根之和． 数相联系 ，再局部运用对数函数 ，形成函数关 解 。．‘函数，()的图象关于直线 =1 系链 ，通过考查方程根 的存在性及根 的个数 对称 --． 2一 )=，()．又Y= )为奇函 的形式来侧面考查零点的概念．解题 的关键 数 ，．’．，(+2)： 一 )=一厂()’．．．，(+4) 在于通过奇偶性 、对称性判断函数 的周期 ，依 =一 +2)= )，即 )的周期为 4．由 次产生循环的规律性零点． ，()为定义在 R上的奇函数 ，有 0)=0，故 二、与复合函数链接 。层叠零点 1 1 例2 已知函数，()：』+，≤0，则 ，()=～寺十 0)=一寺． Llog2 ， 0， ’ ． ’ ∈(0，1]时 ／ )=log：，．。．／ )= 函数Y=，( )+1)的零点个数是 ( ) 1 一 ÷在(0，1)内有一实数根 由奇函数图象 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解 令 “= )+1，则 由 )=0，结 特点可知在 (一1，0)内没有实根 ；又函数_厂() 合分段函数分类讨论，得到u=±1，即 )+ 1 的图象关于直线 =1对称，．·． )=一÷在 ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·●… ·●… ·● … ·●… ·●… ·●… ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… ·● … ·●… -● … ·● … ·● … ·●… ·●… ·● … ·● … ·● … ·●… ·● … -● ～ sinz (等号在A=B=c=亍时成立)，从而 ． 类似方法可以得出：在 AABC中， sinA +sin +sinc ≤ 学，nA+sinB+ c。sA+c。s曰+c。sc≤寻；sin孚s