用光学分数Fourier变换的方法测定自仿射分形的Hurst指数.pdfVIP

147 中国科学G辑物理学力学天文学2004，34(2)：147～152 用光学分数Fourier变换的方法测定 自仿射分形的Hurst指数水 冯少彤“ 韩典荣 丁鹤平 (南京师范大学物理科学与技术学院，南京210097) 摘要 采用光学分数Fourier变换的方法从实验上测定了规则自仿射分形图形 的Hurst指数，并将此方法推广到无规自仿射分形图形，测定了几种无规自仿射 分形图形的Hurst指数．实验结果证实了光学分数Fourier变换方法分析自仿射分 形图形的可行性． 关键词 光学分数Fourier变换自仿射分形Hurst指数 Namias于1980年首先提出，并在数学上作了完整的定义，讨论了变换的本征函 数等．1993年Lohmann等用透镜系统成功地实现了这一变换，并设计出了级次连 换引入了光信息处理领域． 分形概念是由Mandelbrot首先提出的【2】．分形理论从几何角度研究非均匀几 何图形的自相似性，它成为耗散结构理论和混沌理论的补充，是定量研究自然界 中复杂现象的有力手段，分形的研究现在已非常广泛和活跃，它是研究非线性科 学的前沿之一． 该理论首次采用光学分数Fourier变换的实验方法测定了自仿射分形的Hurst指数 为测定自仿射分形图形的Hurst指数提供了一种新的方法． 1 理论分析 分形原意是支离破碎，其结构具有无序性．但另一方面它又是有序的，具有 2003．10．08收稿，2004．02．03收修改稿 +江苏省教育厅自然科学研究基金资助项目(批准号：02KJB140004) 4+E—mail：fston9905@sina．com INCHINA SCIENCE Ser．G Physics．MechanicsAstronomy 148 中国科学G辑物理学力学天文学 第34卷 特殊的对称性，即自相似性或标度不变性．标度不变性是指对于缩小和放大，图 形仍然保持不变，即物体与局部是自相似的． 分形结构可分为普通分形、自仿称分形和多重分形等．普通分形图形的标度 不变性在各个方向上都成立．然而在许多物理情况下，某些分形图形的标度不变 性随方向而有差异．这种各向异性的分形称为自仿射分形【4】． 自仿射分形具有各向异性的分形特征可以用函数f@)来表示@是n维矢量)， 它有如下的性质： f(2x)=2H，(x)， (1) 这里五是标度因子，日称为Hurst指数． 不管是普通分形还是自仿射分形均可分为两类．一类是规则分形，它是按一 定的数学规则人为的构造出来的．另一类是无规分形，它是许多自然界的问题中 产生的分形．其特点是不具备严格的自相似性，只是在统计意义上是自相似的． (2) R“f(x)=吒(“)=I厂(z)K二(z，u)dx， 其中X，H是表示输入和输出平面矢量． sinof)-n／2 如(圳)=(27ti 由分数Fourier变换的相似定理，在gt维情况下(3)式可写成： ∥朋曲=(x2_1)n／2 expI詈池钠卜p12u2 其中y=sinfl(2 下关系 cotof=五2 (5) cotfl． 的平方之关系式 f屹(n)12=五枷1矿lFp(xu)2， (6) 这里of，卢≠nm／a，注意角度∥=1：一of，参数y=1． l矗／2-ct(“)f2--Icota