用最基本的方程(函数)思想避免简单问题复杂化.pdfVIP

· 32· 中学数学研究 2015第6期 分析与解 ：所给 问题是特殊的无理函数的最值 分析与解 ：针对此题，很 多同学都是将 已知式子 问题，直接下手 比较 困难．如作 换元 ：令 u = 用余弦的和角公式展开为c。s(+7／)=c。sO／COS +2，=~／6一 ，b=3，贝0“+ =(v／+2) 4 · 。 +( 6一 ) = +2+6一 =8，再用字母 ，n取代 一 SlnO~slrl卫 = ( 一sin)=一4 一 一4 于(COSff一 “ 一5，，然然后后结结合合 8，则得 “+ =m(定值)，于是命题一般化为： si’not+coso／=1，解方程组来解，这样解决计算过 设 a，6∈R+，变量 “≥0，V≥0，且 +V = 程相当复杂，而且容易出错，但我们注意到已知角和 m(定值)，求函数Y=0“+6 的最大值．因为Y ： (口 +6) =a2M +2ab +b 。= (a2+b)( + 所求角之间的关系 =(+手)一7／，这样就有如 )一(bu—av) ：(a +b)m一(bu一0)，又a， b，m为定值，所以当bu—av=0时，Y取得最大值 下简单的解法：-。0‘詈，．．．予+孑 ， (a + b)m，又 因为 Y ≥ 0， 所 以 y ： 且c。s(+手)=一4，．．·sin(+手)=3，．．·c。s ~／(n+b)m，令~／(口+b)m=10 ，再将b= 3，m=8代入，即,／8(a+9)=10A-，化简并解得口 =c。s[(+77)一号]=c。s(+手)c。s+sin(a =±4，舍去负值，则得a=4为所求． + )sin ：一4 × +3 × 点评：换元引参实际上是将 “元”的个数增加， 2 =一 10 这样表面上看起来将 问题复杂化了，但实际将问题 点评 ：上述解法中将单角化成复角，看似复杂 的解决推向一般化，有时更有利于问题的解决，这也 了，实际变得简单了，而且从头至尾过程酣畅淋漓， 是一般化的一种基本方法． 计算也没有受阻，这也是一般化的体现． 4．单角问题复角化 三角函数的求值化简是三角函数部分常考的题 参考文献 型，不仅考查学生对三角函数相关公式的记忆和理 [1]俞素珍 、任伟芳．一般化——一种解题方法 [j]．数学教 解，更是考查学生对公式的熟练运用程度 以及对公 学，2007(1)． 式的本质的认识和把握．对公式的运用一般有三个 [2]任念兵、周心华．强化命题证明一类数列不等式[J]．中 层次，即公式的正用、逆用和变形用．但有些题 目若 学数学教学参考，2006(12)． 能将简单的角化为复杂的角，不仅没有增加解题的 [3]罗增儒．高中数学竞赛辅导[M]．陕西师范大学出版社 ， 难度，反而使问题的解决变得更加轻松和简便． 1998，7． [4]田彦武．从两道高考题谈 “以退求进”思想的应用 [J]．数 已知c。s(+手)=一 ，0詈，求 学教学 ．2007(5)． 用最基本的