浅谈生物数学上之竞争理论.pdfVIP

淺談生物數學上之競爭理論 許世壁 在本文裏我們將介紹 目前在生物數學上 x(0) 0 (1.2) 有關單一族群及二個、 三個、 三個以上不同族 群之成長競爭理論。 我們將利用常微分方程 在此f (x)為某一個x的函數。 來建構我們的數學模型, 並介紹經 由這些非 由於在實際的世界裏, 資源是有限的。 線性系統常微分方程所發展出來的數學理論。 在單一的族裏也有 內在的競爭 (Interspe- cific competition), 因此 Verhulst 在 1836 1. 單一族群的競爭理論 年提出了下列 Logistic equation: 所謂族群 (species), 我們可以想像為人 dx = ax − bx2 類、 動物、 昆蟲、 細菌、 鳥類 等。 令 x(t) dt 為某一族群在時間 t 之人口總數或密度。 馬 x(0) = x0 0 (1.3) 爾薩斯 (Malthus) 的人口論假設在無限的資 源下, 人口在時間 t 的變化量,dx , 與其人口 2 dt 其中bx 項表示在族群裏個體與個體之互相 x(t), 成正比, 即 競爭行為。 我們可以將 (1.3) 式改寫為下列 dx = a x(t) 形式: dt x(0) 0 (1.1) dx x = rx(1 − ) dt K x(0) = x0 0 (1.4) 大二的微分方程告訴我們 x(t) = x(0)eat , 所以人口的成長將以指數的形式趨向無限大。 馬爾薩斯人口論只適合描述如在實驗室 養 在 (1.4) 式中我們稱r為成長率,K為環境容 之細菌的成長過程。 在實際的世界裏, 方程式 量 (Carrying capacity)。 利用分離變數法 (1.1) 是一個不適當的數學模型。 因此, 我們 (Separation of variables) 解 (1.4) 可得 可以將 (1.1) 修正為 x K ert dx x(t) = 0 rt (1.5) [K + x (e − 1)] = f (x) 0 dt