高考数学解题技巧三次函数极值的导数求解法.pdfVIP

三 次 函 数 极 值 的 导 数 求 解 法 尹双雷 孙 锐 周 航 (1咸阳师范学院 数学与信息科学学院，陕西 咸阳 712000；2安康学院 数学系，陕西 安康 725000) 摘 要 ：本 文从函数极值概 念 出发 ，利 用函数极值 的导 I若△时，则此时f，(x)=O有两个不同的实数根 ，设为x、 数求解方法，给 出了三次函数极值 的导数求解，并举例应用。 xxx)，则y=f(x)的图像如IN3。 关键词 ：函数极值 三次 函数极值 导数求解 r 1．函数极值的概念 已知函数y=f(x)，其定义域是D。设x∈D，如果存在一个 小区间(u，v)，使得x∈(U，v)cD，并且在此小区间内，当X≠x 时，恒有f(x)f(x)(或f(x)f(x。))，则称 函数f(x)在x。处有极大 一 值 (或极小值)，并称x是函数f(x)的一个极值点 。 o 7 ＼’ 2．函数极值导数求解方法 (1)求导数f(X)。 图3 (2)令f(x)=0，求出f(x)=0的所有实数解 。 由图3可知xx时 ，f(x)0， ( (3)检查f，(x)在方程根左右 的值 的符号，如果左正右负， X1xx，时，f(x)0， ⑤ 那么f(x)在这个根处取得极大值 ；如果左负右正，那么f(x)在 xx时，f(x)0， ⑥ 这个根处取得极小值。 3．三次函数极值导数求解的具体过程 由④⑤可得x。为f(x)的极小值点；⑤⑥可得x，为f(x)的极 已知f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)，求其导数f，(x)=3ax+‘2bx+ 大值点。 Ⅱ若A=O时，则此时f(X)=0有两个相 同的实数根 ，设为x．= c(a≠0)，由于f(x)是一个二次 函数 ，A=(2b)-4x(3a)xc=4b一 x：，则y=f(x)的图像如IN4。 12ae，要求f，(x)=0的实数根 ，需判断△与0的大小关系 。以下就 对△进行讨论。 (1)当aO时。 I若hO时 ，则此时f(x)=0有两个不同的实数根 ，设为X，、 西 x：(xx：)，SJty=f(x)的图像如图1。 0／／ | ＼ ： 图4 ／ 由图4可知xx时 ，f(x)0，