高考数学复习点拨 立几中四种常见错误探究‘.docVIP

立几中四种常见错误探究 点、直线、平面的位置关系是立体几何的重点，也是高中数学的重要内容．由于立体几何的独特性质，使得在处理这类问题时，不少同学总会出现这样或那样的错误．本文就常见的易错点进行归纳，并加以剖析，希望能帮助同学们走出解题误区． 一、概念理解性错误 一些题目往往是围绕概念设置“陷阱”的，如果对概念掌握不牢或理解有偏差，往往难逃一劫． 例1　空间四边形ABCD中，AB＝CD且成的角，点 M、N分别为BC 、AD的中点，求异面直线AB和MN成的角． 错解：如图1所示，取AC的中点P，连PM，PN，MN ∵ M、N分别为BC 、AD的中点 ∴MP∥AB，且MP= AB ； NP∥CD，且NP=CD 又AB=CD， 且AB，CD所成的角为， ∴MP=NP且直线MP于NP成角， ∴ MPN=，即使等边三角形， ∴PMN= 即直线AB和MN成的角为． 剖析：上面的解法遗漏了当直线PM与PN成角，而MPN=的情形，此时直线AB和MN所成角为．为防止遗漏或错误，在解题过程中应正确理解定义． 评注：题目中的错误，是同学们最易忽视的，有时看到一例题目，似乎会做，但是，不经过缜密的思考，就会出现“千里之堤，溃于蚁穴”的慨叹． 二、受思维定势的影响引起的错误 在解题时，不少同学惯于照搬学习中所形成的一种固定思维方法．这样做，有时可以少走弯路，快速解题，但有时也会对思维起干扰作用，导致解题失误． 例2 如图2所示，已知E、F分别是正方体ABCD－的棱，上的点，且AE=，求证：四边形是平行四边形． 错证：∵ 第三个平面截两个平行平面所得交线平行， 又 ∵平面∥平面， ∴∥FB ，同理可证：∥EB 故四边形是平行四边形． 剖析：此证法主要错在盲目地认为E、B、F、D1 四点共面．本题应该如何来证，留给同学们自己完成． 三、缺乏分类意识引发的错误 分类讨论是数学中一种重要的思想方法，它在立体几何中应用非常广泛．但不少同学不能正确的利用这种思想方法，经常片面地考虑问题，使问题出现漏解． 例3 　点Ｍ是线段AB的中点，若A、B到平面的距离分别为4和6，则点M到平面的距离为—————— 错解：如图3－1，分别过点A、B、M作平面的垂线，，，MH，垂足分别为． 　　 则线段，，MH的长分别为点，A、B、M到平面的距离， 由题设知，=4，=6， 因此，MH= 剖析：不少同学在解此类问题时，总认为A、B在的同侧，只注意检验计算是否正确，并没有发现异侧的情况，缺乏分类讨论的意识．事实上，如图3－2 ，若A、B在异侧，则MH=1． 四、以特殊代替一般导致的错误 不少同学在解题时常常用特殊图形来代替一般证明，造成解题错误． 例４　已知∥，AB、CD是夹在与间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且AE：EB=CF:：FD=：，求证：EF∥，EF∥． 　　 分析：同学们很容易利用图4－1，4－2，中的特殊图形代替一般证明，对AB与CD异面这一更一般的情形缺乏分析，由此产生特殊代替一般的证明错误．请同学们结合图４－３自己证明此题． 用心 爱心 专心 图４－３ D C B A 图３－２ B Ｈ Ｍ A 图３－１ B Ｈ Ｍ A A E F 图2 D1 C1 B1 A1 C B D P D N 图1 M C B A E F A B C D E F 图4－1 A D C B 图4－2 E F