高考数学复习点拨 向量在解析几何中的应用.docVIP

向量在解析几何中的应用 　　向量为“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，形成了代数与几何的新纽带．它也是解决解析几何问题的有力工具，向量法简洁、明快、颇具特色．本文例谈用向量法解决解析几何问题． 1．研究直线所成的角 已知定点，为原点，是线段垂直平分线上的一点，若为锐 角，求点的横坐标的取值范围． 分析：①用解析法，利用到角公式需对P点的位置讨论，求出直线斜率再带入到角公 式，然后解不等式，运算较繁；②把看成是两向量的夹角，只要即可．下面给出后一种思路的解法． 　　解：为向量的夹角，． 　　为锐角， 　　，且三点不共线． 　　的垂直平分线方程为，即． 　　设，则，， 　　由，解得或． 　　点横坐标的取值范围为． 　　评析：利用数量积的定义处理有关长度、角度等问题时可以减少计算量．当然本题还可以以OA为直径做圆，来求点P横坐标的取值范围． 2．证明三点共线 例2 设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点．点在抛物线的准线上，且平行于轴，证明：直线过原点． 　　分析：证过点，即证三点共线，转化为证向量与共线，即． 　　解：设， 　　则． 　　三点共线，． 　　，即． 　　又． 　　，即三点共线． 　　直线经过原点． 　　3．解决动点轨变问题 　　例3　已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足，．当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程． 　　分析：此题为解析几何中求动点的轨迹方程的问题，动点M的运动随点P的运动而运动．分别设出P、M与Q点的坐标，将已知向量坐标化，然后利用向量数量积及向量相关知识找到等量关系． 　　解：设，其中， 　　则． 　　，即． 　　． 　　． 　　，，即，． 　　动点的轨迹方程为． 　　评析：使用向量共线与垂直的充要条件，处理直线的平行和垂直关系，与利用直线的斜率关系解题实质是相同的．但向量的坐标运算避开了斜率是否存在的讨论，从而简化了解题过程． 平面向量用于解析几何中能够把较复杂的几何关系转化为简单的代数运算，能够充分体现数学中的数形结合思想，达到避繁就简，化难为易的效果，也为解决平面解析几何问题开辟了一条新途径． 用心 爱心 专心