高二数学 上学期曲线和方程例题（四）.docVIP

高二数学 上学期曲线和方程例题（四） ［例1］设A、B两点的坐标是 1，0 、 -1,0 ,若kＡＢ·ｋＭＢ＝－１，求动点M的轨迹 方程. 选题意图：考查求轨迹方程的基本方法. 解：设M的坐标为 x,y ，M属于集合P ｛Ｍ｜ｋＭＡ·ｋＭＢ＝－１｝.由斜率公式，点M 所适合的条件可表示为 ，整理后得x２+y２ 1 x≠±1 . 下面证明x２+y２ 1 x≠±1 是点M的轨迹方程. 1 由求方程的过程可知，M的坐标都是方程x２+y２ 1 x≠±1 的解； 2 设点M１的坐标 x１,y1 是方程x２+y２ 1 x≠±1 的解， 即， 由上述证明可知，方程x２+y２ 1 x≠±1 是点M的轨迹方程. 说明：所求的方程ｘ２＋ｙ２＝１后面应加上条件ｘ≠±１. ［例2］点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程. 选题意图：考查求轨迹方程的基本方法. 解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示，设点M的坐标为 x,y ，点M的轨迹就是到坐标轴 的距离相等的点的集合P ｛Ｍ｜｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜｝，其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足. 因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件 ｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜可写成｜ｘ｜＝｜ｙ｜即x±y 0 ① 下面证明①是所求轨迹的方程. 1 由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解； 2 设点M１的坐标 x１，ｙ１ 是方程①的解，那么x１±ｙ１＝０，即 ｜ｘ１｜＝｜ｙ１｜，而｜ｘ１｜、｜ｙ１｜正是点M１到纵轴、横轴的距离，因此点M１到这两条直线的距离相等，点M１是曲线上的点. 由 1 2 可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如图所示. 说明：建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单.所求方程的形式较“整齐”. 用心 爱心 专心