高二数学 上学期曲线和方程 第二课时教案三.docVIP

高二数学 上学期曲线和方程 第二课时教案三 ●教学目标 （一）教学知识点 根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤. （二）能力训练要求 1.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程. 2.会判断曲线和方程的关系. （三）德育渗透目标 1.提高学生的分析问题能力. 2.提高学生的解决问题能力. 3.培养学生的数学修养. 4.增强学生的数学素质. ●教学重点 求曲线方程的步骤： （1）依据题目特点，恰当选择坐标系； （2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标； （3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0； （4）化方程F(x,y)=0为最简形式； （5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. ●教学难点 依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性. ●教学方法 启发引导法 启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：记作§7.6.2 A 第二张：记作§7.6.2 B ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾. ［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. Ⅱ.讲授新课 不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质. 而且，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 当今，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 它主要研究的是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质. ［师］下面我们首先讨论求曲线的方程. ［例2］设A、B两点的坐标是（-1，-1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程. 分析：线段AB的垂直平分线上的任一点M应满足条件：｜MA｜=｜MB｜ （打出投影片§7.6.2 A) 解：（1）设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，则｜MA｜=｜MB｜ 即 整理得，x+2y-7=0 ① 由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解； （2）设点M1的坐标(x1,y)是方程①的解， 即x1+2y1-7=0, x1=7-2y1 点M1到A、B的距离分别是 ｜M1A｜= ∴｜M1A｜=｜M1B｜ 即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由（1）、（2）可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程. ［例3］点M与互相垂直的直线的距离的积是常数k(k＞0)，求点M的轨迹. 分析：应建立适当的坐标系，不妨就取互相垂直的直线为坐标轴. 解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系. （打出投影片§7.6.2 B) 设点M的坐标为(x,y)，点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的点的集合： P={M｜｜MR｜·｜MQ｜=k}, (其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足） 因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值， ∴｜x｜·｜y｜=k 即x·y=±k① (1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解； （2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解，那么x1y1=±k, 即｜x1｜·｜y1｜=k. 而｜x1｜、｜y1｜正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点. 由（1）、（2）可知，方程①是所求轨迹的方程. 下面，请同学们打开课本P72. Ⅲ.课堂练习 ［生］（板演练习）练习1、2. ［生甲］1.解：设点M（x,y)是到坐标原点的距离等于2的任意一点，则点M属于集合 P={M｜｜OM｜=2} ∴=2 即x2+y2=4 ① (1)由求方程的过程可知，到坐标原点的距离等于2的点M的坐标都是方程x2+y2=4的解. （2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解， 即x12+y12=4 整理得y12=4-x12 点M1到坐标原点的距离为： ｜OM1｜= 即｜OM1｜=2 ∴M1到坐标原点的距离为2，也就是说以方程x12+y12=4的解为坐标的点到坐标原点的距离为2. 由（1）、（2）可知，方程x2+y2=4是到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程. ［生乙］2.解