分段函数、函数的可积性与原函数存在性.pdfVIP

第25卷第2期 大 学 数 学 V01．25，№．2 2009牟4月 COLLEGEMATHEMATICS Apr．2009 分段函数、函数的可积性与原函数存在性 马保国， 王延军 (延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000) [摘 要]论述了分段函数在数学分析中的作用，并以分段函数为工具，给出了函数的原函数存在和黎曼 可积之间的关系，有助于全面掌握原函数和定积分这两个重要概念． [关键词]分段函数；可积性；原函数；间断点 [中图分类号]0174[文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2009)02一0200—04 在一元函数积分学中，原函数(不定积分)和定积分概念，虽然它们建立的背景有很大的不同，但是， 当我们建立了微积分基本定理之后，就把二者联系起来了．于是，许多初学者就产生错觉，认为函数的原 函数存在，则函数就黎曼可积(简称可积)；或者函数可积，则其原函数就一定存在．在现行的数学分析教 材中，尽管也指出原函数存在和函数可积没有必然的联系，但由于教材篇幅和讲授学时的限制，对原函 数存在性和可积性间的关系，没有作一般性的讨论．本文以数学分析教材内容为基础，利用分段函数对 函数的原函数存在性和可积性作一些补充讨论，以帮助初学者弄清原函数存在性和可积性这两个重要 概念之间的相互关系． 1 分段函数 众所周知，在数学分析中重点讨论的是有广泛应用的初等函数．对于非初等函数的讨论常出现在一 些重要概念和理论阔题的进一步剖析和讨论中，它的主要应用之一就是构造满足某些要求的反例，由此 对概念或定理进行辨析与阐述，分段函数就是这样一类重要的函数．如，狄利克莱函数、黎曼函数、符号 函数等就是这方面应用的典范． 所谓分段函数，是指在函数定义域的不同部分不是用一个解析式表示，而是用几个不同的解析式来 表达的函数，有时可能要用无穷多个解析式．分段函数一般定义为：设j是一个区间，，在J上有意义且 满足 ” (i)J—UJf，Ifn i=l，2，…，竹， Jj=够(i≠J)；(ii)厂(z)=^(z)，z∈Ji， l二I 则称．厂为I上的分段函数． 由于数学分析中遇的分段函数，每个^都是，i上的初等函数，所以和初等函数一样我们可以去讨 论它们的极限、连续、可微和可积等分析性质．由于这类函数在函数定义域的不同部分用不同的解析式 来表示的，所以它们经常具有某些独特的性态，这也正是我们所关注的．特别在函数解析表达式的分界 点处，是出现这类独特性态的敏感点，因而是讨论的重点．通过对分界点的讨论可以论证函数的一些典 型的或莺要的性质． 例如，为了强调函数在一点连续性是函数的局部性质，在数学分析中给出了黎曼函数，并证明它在 有理点处都不连续，在无理点处都连续．从而使学生对函数在一点连续的局部特征有更强烈的印象． [收稿日期]2006—11一02 [基金项目]陕西省第三轮高等教育教学改革项目(2005～95)；陕西省精品课程项目(2006—56) 万方数据 第2期 马保国，等：分段函数、函数的可积性与原函数存在性 201 概括地说，利用分段甬数可以强化数学分析中的一些基本概念；利用分段函数可以辨析函数的连续 性、可导性、可积性等之间的关系；利用分段函数可以构造具有某些特殊性质的函数；利用分段函数可以 解答数学分析中的一些疑难问题． 总之，分段函数是一类具有特殊性质的重要函数，在数学分析(乃至整个高等数学)中有重要应用和 地位[3’6]．在教学中，如果我们能充分的应用分段函数的特点，引导学生掌握基本概念和理论正面和反 面的意义，进而准确理解和掌握这些基本概念和理论，这对于提高数学分析教学效果是十分重要的． 2 函数的可积性与原函数存在性 2．1 函数的可积性与原函数存在性的基本结论 在数学分析教材中n1，对区间[口，6]上的函数厂的可积性一般给出如下基本结果(定理1)，通常称 为积分的充分条件(可积函数类)．