关于高等数学中两个问题的探讨.pdfVIP

第32卷第2期 2012年6月 河北民族师范学院学报 Vo1．32No．2 Jun．2012 JournalofHebeiNormalUniversityforNationalities 关于高等数学中两个问题的探讨 司志本 ’， 李春光 (1．河北民族师范学院 初等教育系，坷I 承德 067000 2．河北民族师范学院 科研处 ， -已 承德 067000) 摘要：分段函数和积分上限函数，是高等数学中比较重要的两类函数．分段函数在分界点处的导数和积分 ，是学 生感到比较棘手的内容，这就需要教师在 内容的解读以及教学方法的选取上，要根据学生的实际情况进行科学的处 理；积分上限函数，是一个用积分形式给出的函数，深入挖掘这个函数的潜在功能，对于学生深刻理解微积分的概念 是十分有益的． 关键词 ：分段函数；积分上限函数；导数 ；积分 中图分类号：013 文献标识码：A 文章编号：2095—3763(2012)02-(X)73—03 在高等数学中，有许多内容都要涉及到分段函 例如 ，函数 数和积分上限函数 ，而学生在解决这两类函数的相 y’：fX(。)：{一1【 x((≤o) 关问题时，往往会感到无从下手．本文将对这两类 函 xU】 数的相关问题做一点探讨，相信对学生能够起到一 的图象是 以点 (0，-1)和点(0，1)(不含此点)为始点， 定的指导作用． 分别 向左和向右的两条水平射线． 1． 关于分段 函数的导数和积分 1．2 分段函数的导数 分段 函数是一类常见的并且十分重要 的函数 ， 一 般来说，求分段函数的导数可以分两步进行， 它的明显特征就是 “分段”，它在分界点处的一些运 第一步，先求出函数在去掉分界点以后的各个区间 算和性质 ，对于初学者来说 ，需要谨慎处理． 上的导数 ；第二步 ，再研究函数在分界点处的导数情 1．1 对分段函数定义 的理解 况．在各个小区间上的导数可以根据导数的定义 、公 分段 函数是指在 自变量的不 同变化范 围中，对 式和性质等，采用多种方法去求；而在分界点处的导 应法则用不 同式子来表示的函数 (注 ：本文 中的分段 数，一般需要先研究函数在该点的单侧导数 (左导数 函数均指一元函数)。分段函数虽然有时也可以用一 和右导数)．具体说来，如果在该点存在单侧导数，那 个式子表示出来，例如，分段函数y==fx()：{_x 么就先求出函数在该点处的单侧导数；然后再根据 tx txu) 单侧导数的情况，判断函数在该点是否呵导；若可 可以用一个式子表示为y=f(x)=ixl：=、／x。但是，为 导 ，再进一步求出导数． 了研究方便 ，我们往往还是用几个表达式来表示 ，而 例l 设f(x)=lxf，求f(x)． 不刻意追求形式上的简单． 解 ：先将函数 f(x)写为分段函数的形式． 我们知道 ，初等函数在它的定义区间内是连续 ． fX x(o) 的．因为分段函数的分段点往往是间断点，所 以，在 f(x)=Ix{={0 (x=o) 有些情况下，分段 函数在整个定义区间上不是初等 一【x (x0) 函数． 当x0时，有 f(x)=1；当x0时，有 f(X)=一1；当