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中学数学学科知识的源与流 源与流 源：即源头，原指水流所从出的地方。先引申为事物的根源。 流：原指液体的移动。指事物的发展，知识的传承等。 “源与流”的解释 ：儒家思想的“源”就是孔子本人的思想，后人对其的解释就是“流”。 源与流的关系：源在先、流在后 学科的分类 自然科学：揭示自然界发生的现象以及自然现象发生过程的实质规律。包括数学、物理学、化学、天文学、生物学等。揭示的是绝对真理。 社会科学：指以社会现象为研究对象的学科，包含政治学、经济学、法学、教育学、心理学等。揭示的是相对真理。 人文艺术：研究美的学科。音乐、绘画等。 数学教育 是数学与教育的交叉学科，应该具有教育的特点，也有数学的特点。譬如现在推进的用科学的方法研究数学教育，或者说要把数学教育科学化，似乎是要强调数学的特征。 数学教学还有艺术的成分，教学可以理解为教师导演的演出。数学教学是技术与艺术的结合。 数学教育的原则 陈建功先在1952的“20世纪的数学教育”一文（原载《中国数学杂志》第一卷第二期）指出支配数学教育目标、材料和方法的三大原则 ? 实用性的原则 ? 论理的原则 ? 心理的原则 荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔 的数学教育观 数学源自常识 情景问题是教学的平台 数学化是数学教育的目标 学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分 “互动”是主要的学习方式 学科交织是数学教育内容的呈现方式 二位大师实际上指出： (1)数学来自于生活与生产实践； (2)数学学习中数学要上升到理性的高度，要论理，要“数学化”； (3)学生学习数学知识要与学生的心理相适应．数学教育都要从学生心理，数学，数学应用三个方面统一起来考虑数学教育问题。 心理学和教育学的成果为数学教育的发展提供了强劲的动力 行为分析 认知理论 建构主义理论 最近发展区理论 APOS理论 中学数学学科知识 显性：数学内容，数学方法 隐性：数学思想，数学思维。 数学教学目标：通过显性的知识教学提升学生隐性的思维、思想能力。所谓的数学能力大多属于隐性的知识范畴。 数学精神和特点 数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理及完美境界的追求。 数学的基本要素是：逻辑和直观，分析和构作、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些相互对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的价值。 数学本身中寻找中学数学教育研究的源头 数学发展之源 数学的研究之源 数学的结构之源 数学操作之源 数学思想之源 一.数学发展之源 生产实践始终是数学发展的源泉。 其他学科（譬如物理学）的发展 ，推动了数学的发展 。 数学自己内部出现的问题，推动数学的发展 中学数学教育怎样来体现数学的发展之源 情景教学 ：1.情景可以是生活中的，2.情景也可以是生物、物理等其他学科的，3.特别要注意的是数学本身提出的问题也是情景 问题驱动性的教学法 ：先提出问题 ，数学知识和数学思想方法在解决问题中展开。适合于优秀的学生 的教学。 应用题教学 勾股定理课例 大树刮断情景： 函数单调性课例 听课的注意力指标和时间的关系图。 两位教师用的同一个情景引入 二.数学的研究之源 直观和直觉是数学创造力的源泉 牢固的基础是数学研究的保障 严谨的数学推理是数学研究的生命 学者之间的交流是数学研究的形式与手段 欧几里得几何 把一切科学公有的真理叫公理 为某一门科学所接受的第一性原理称作公设 公理1：等于同量的量彼此相等 公理2：等量加等量，和相等 公理3：等量减等量差相等 公理4：彼此重合的图形是全等的 公理5：整体大于部分 欧氏几何 公设1：通过两点只能作一条直线 公设2：一条直线可不断延长 公设3：以任意中心和直径可以画圆 公设4：凡直角都彼此相等 公设5：通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行（欧几里得公设） 对第五公设质疑 一开始，人们把下面的 (1) 直线是一点到另一点的最短的路径 也称为公设，但后来发现，(1)能从其他公理中演绎推理得到。长期以来，人们也希望能从其他公理出发推出公设5，因为它的陈述和内容不象其他公设那样简洁明了，人们不能凭经验而一目了然，因此人们怀疑它不像一个公设而更像是一个定理。两千多年来无数数学家试图证明第五公设的努力都失败了。 意大利人萨谢利（G..Saccheri,1667-1733）试图用归谬法证明第五公设 非欧几何的诞生 高斯最先认识到在欧几里得几何之外还可以有逻辑上相容的新几何系统. 当高斯秘而不宣自己的发现时，1832年2月14日，高斯的一位匈牙利朋友将儿子波尔约（J．Bolyai, 1802-1860）的一篇题为《绝对空间的科学》的论文寄给他，