一阶微分方程的解法与应用.ppt

一、一阶微分方程求解 1. 求下列方程的通解 调换自变量与因变量的地位 , 2. 求下列方程的通解: 3. 总习题: 二、解微分方程应用问题 P354 题6. 已知某车间的容积为 一、两类二阶微分方程的解法 2. 二阶线性微分方程的解法 解答提示 特征根: P354 题4(2) 求解 例1. 求微分方程 例2. 例3. 二、微分方程的应用 例4. 例5. 例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 练习题 本文观看结束！！！ 解: 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: ② (G 为引力系数) 则有初值问题: 又设卫星的初速度 ③ 代入原方程②, 得 两边积分得 利用初始条件③, 得 因此 注意到 为使 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 ④ 代入④即得 这说明第二宇宙速度为 求质点的运动规 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 提示: 两边对 s 求导得: 牛顿第二定律 … 为 k), 开方如何定 + – ? 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 此时链条受力 由牛顿第二定律, 得 348--5 由初始条件得 故定解问题的解为 解得 当 x = 20 m 时, (s) 微分方程通解: 思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的 数学模型是什么 ? 不考虑摩擦力时的数学模型为 此时链条滑下来 所需时间为 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测 要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为? , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . 提示: 建立坐标系如图. 质量 m 体积 B 由牛顿第二定律 重力 浮力 阻力 注意: 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 质量 m 体积 B 得 * 一阶微分方程的 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 三个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 提示: (1) 故为分离变量方程: 通解 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 用线性方程通解公式求解 . 化为 齐次方程 . 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (伯努里方程) (分离变量方程) 原方程化为 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x – 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 (题3只考虑方法及步骤) P353题2 求以 为通解的微分方程. 提示: 消去 C 得 P353 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中 P353 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (9), (10) 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 提示: 为伯努里方程 , 令 提示: 可化为贝努里方程 令 原方程化为 , 即 则 故原方程通解 提示: 令 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件. 为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 设鸭子(在静水中)的游