2014世纪金榜第二章 第八节.pptVIP

第八节 函数与方程 1.函数的零点 (1)定义：使函数y=f(x)的值为0的______称为函数y=f(x)的零 点. (2)零点与相应方程根、函数图象与x轴交点横坐标间的关系： 方程f(x)=0有_______?函数y=f(x)的图象与x轴有_____?函 数y=f(x)有_____. 实数x 实数根 交点 零点 2.函数零点的存在性定理 函数f(x)在区间［a,b］上存在零点的条件： (1)在区间［a,b］上的图象是一条_______的曲线. (2)___________0. 不间断 f(a)·f(b) 3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系 无 x1 x1,x2 零 点 无交点 (x1,0) _____________ 与x轴的 交点 二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象 Δ0 Δ=0 Δ0 (x1,0),(x2,0) 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (2)函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.( ) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac＜0时没有零点.( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( ) 【解析】(1)错误.函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)错误.函数f(x)=x2-x在(-1，2)上有两个零点，但f(-1)f(2)＞0. (3)正确.当b2-4ac＜0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点. (4)错误.当函数零点左右两侧函数值同号时，无法使用二分法求零点的近似值. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 1.函数f(x)= 的零点个数是______. 【解析】由等价关系零点个数转化为 方程 的根的个数,即又转化 为函数y=lg x与 图象交点个数， 由图象得：有一个交点. 答案：1 2.函数f(x)=mx-1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________. 【解析】由f(0)f(1)0,得(-1)·(m-1)0，∴m1. 答案：(1，+∞) 3.二次函数f(x)=ax2+bx+c中，a·c0,则函数的零点个数是______. 【解析】∵c=f(0),∴a·c=a·f(0)0,即a和f(0)异号， 即 或 ∴函数必有两个零点. 答案：2 4.若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围是________. 【解析】当a=0时，则f(x)=-x-1,易知函数只有一个零点. 当a≠0时，则函数为二次函数，仅有一个零点， 即Δ=1+4a=0, 综上，当a=0或 时，函数只有一个零点. 答案： 考向 1 函数零点的求解与判断 【典例1】(1)(2012·天津高考改编)函数f(x)=2x+x3-2在区间 (0，1)内的零点个数是________. (2)设函数y=x3与 的图象的交点为(x0,y0),若x0∈ (n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是_______. 【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数的单调性判断零点的个数. (2)画出两个函数的图象寻找零点所在区间. 【规范解答】(1)因为f′(x)=2xln 2+3x2＞0,x∈(0,1), 所以函数f(x)=2x+x3-2在(0，1)上单调递增，且f(0)=1+0-2= -1＜0，f(1)=2+1-2=1＞0，所以有1个零点. 答案：1 (2)设 则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系 下画出函数y=x3与 的图象如图所示. ∵ ∴f(1)f(2)＜0,∴x0∈(1,2). 答案：(1，2) 【互动探究】把本例题(2)改为“方程log3x+x=3的解为x0,若 x0∈(n，n+1)，n∈N，试判断其解所在的区间”. 【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间.令 f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3= f(3)=log33+3- 3=10,又因为函数f(x)在(0，+∞)上是连续且单调递增的，所 以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2，3). 【拓展提升】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.