2014世纪金榜第三章 第九节.pptVIP

考向 2 测量距离问题 【典例2】(1)如图,设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A，B两点的距离为_______. (2)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°,则A，C两点之间的距离为______千米. (3)某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.此时汽车离汽车站的距离是_______. 【思路点拨】(1)利用三角形的内角和定理得∠ABC，再利用正弦定理可解. (2)利用已知角求得∠ACB，再利用正弦定理求解. (3)先画出图形，利用已知条件及余弦定理求角C的余弦值，再利用正弦定理求解即可. 【规范解答】(1)由∠ACB=45°，∠CAB=105°, 得∠ABC=30°, 由正弦定理得 ∴ 答案： m (2)由∠CAB=75°,∠CBA=60°, 得∠ACB=180°-75°-60°=45°. 由正弦定理得 即 (千米). 答案： (3)由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处. 在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得 则 所以sin∠MAC = sin(120°-C)=sin 120°cos C- cos 120°sin C = 在△MAC中，由正弦定理得 从而有MB=MC-BC=15(千米), 所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站. 答案：15千米 【互动探究】若将本例(1)中A，B两点放到河岸的同侧，但不 能到达，在对岸的岸边选取相距 km的C，D两点，同时，测 得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45° (A，B，C，D在同一平面内)，则两点A，B之间的距离又如何求 解? 【解析】如图所示， 在△ACD中， ∵∠ADC＝30°， ∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝30°， ∴AC＝CD＝ . 在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°. 由正弦定理可得 在△ABC中，由余弦定理可得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠BCA， ∴ (km). 即两点A，B之间的距离为 km. 【拓展提升】解三角形应用题的一般步骤 (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型. (3)选择正弦定理、余弦定理或其他相关知识求解. (4)将三角形的解还原为实际问题的解. 【变式备选】如图，A，B是海面上位于东西 方向相距 海里的两个观测点，现位于 A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一 艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60° 且与B点相距 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 【解析】由题意知AB=5(3+ )海里，∠DBA=90°-60°=30°, ∠DAB=90°-45°=45°. ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. 在△ABD中，由正弦定理得 ∴ 又∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°， 海里，在△DBC中，由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC ∴CD=30(海里).故所需时间 (小时). 故救援船到达D点需要1小时. 考向 3 测量高度问题 【典例3】(1)如图，测量河对岸的旗杆高AB 时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测 量点C与D.测得∠BCD=75°，∠BDC=60°， CD=a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°， 则旗杆高AB为________. (2)某气象仪器研究所按以下方案测试一种 “弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度： A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进 行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相 距100米，∠BAC=60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 秒.在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器 的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒) 【思路点拨】(1)由正弦定理求出BC，再利用正切求AB即可. (2)利用已知条件先求AC，再利用正切求CH即可. 【规范解答】(1)在三角形BCD中，由正弦定理得： 在直角三角形ABC中， 答案： (2)由题意，设AC=x,则 在△ABC中，由余