利用定比分点公式妙解线段比例问题.docVIP

利用定比分点公式妙解线段比例问题 湖南 彭向阳 利用向量解平面几何中的线段比例问题，一般是选择基向量，将某一向量通过向量共线定理用基向量两次表示，然后根据对应系数相等的原则，求出所设的比值. 但这种方法学生难以理解，而且在运算中不容易转化. 如果建立适当的坐标系，借助向量的坐标表示来处理，不仅学生容易理解，而且利用定比分点的坐标公式来计算，显得快捷简便. 例1 如图所示，ΔABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP：PM的值. 解：以M为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则M(0,0)，设B(-1,0)，C(1,0)，A(x1，y1). 由，得N点坐标为 ，即N()； 设，得P点坐标为，即P()； 设，得P点坐标为. P点的两个坐标应该相等，得 ，根据x1，y1的对应系数相等得，解得. 故AP：PM=4：1. 例2 如图，已知D、E分别是ΔABC中BC边和AB边上的点，AD与CE相交于点P，且CD=3DB，AE=EB，求. 解：如图，以D为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，则D(0,0). 设A(x1，y1)，C(3，0)，B(-1,0). 由得E点的坐标为 ，即E点坐标为； 设，得P点坐标为，即P点坐标为； 设，得P点坐标为，即P点坐标为； 由两个P点的坐标应该相等得，根据x1，y1对应系数相等得 ，解得. 即，所以. 　　例3　点D、E、F分别是ΔABC的边AB、BC、CA的中点.　求证：AE、BF、CD相交于同一点G，且. 　　这是高中数学教材第一册（下）复习参考题五B组的第8题，原题有提示，按教师参考用书上提供的证明方法，学生难以接受.　但如果采用向量的坐标证明法则简单易懂. 　　证明：如图，建立直角坐标系，设A（ｘ1，ｙ1），B（ｘ2，ｙ2），C（ｘ3，ｙ3），G（ｘ，ｙ），则 　　D，E， 　　F. 　　假设AE、BF相交于G点，设，于是有 ；　又设，于是有， 所以. 考虑到ｘｉ，ｙｉ（ｉ＝1,2，3）的任意性，所以有对应系数相等，即 ，　解得，于是G，且 ， 显然，说明C、G、D三点共线. 所以AE、BF、CD相交于同一点G，且. www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！ 学数学 用专页 第 1 页 共 3 页 教数学 用华软 x y M P N C B A y A E P B D C x A D F G B E C ｙ O ｘ