备战2014高考数学.高频考点归类分析(真题为例)：极坐标和参数方程.docVIP

极坐标与参数方程典型例题： 例1. （2012年上海市理4分）如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则 ▲ . 【答案】 【考点】点斜式直线方程的应用，直角坐标与极坐标互化。 【解析】∵该直线过点，与极轴的夹角， ∴该直线的直角坐标方程为：，即。 根据直角坐标与极坐标的关系，，代入上式，得 ， ∴。 例2. （2012年北京市理5分）直线 (t为参数)与曲线 (“α为参数)的交点个数为 ▲ 【答案】2。 【考点】参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系。 【解析】将参数方程化为直角坐标方程： 将直线方程的两式相加，得： 将曲线方程的两边平方后相加，得 ，它是圆心在（0，0），半径为3的圆。 由点到直线的距离公式，得圆心（0，0）到直线的距离为 ，它小于圆的半径。 ∴直线与圆相交，有两个交点。 【也可用一元二次方程根的判别式求解】 例3. （2012年天津市理5分）己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则 ▲ . 【答案】2。 【考点】参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质。 【分析】∵，可得抛物线的标准方程为，∴焦点。 ∵点的横坐标是3，则，∴点，。 由抛物线的几何性质得。 ∵，∴，解得。 例4. （2012年安徽省理5分）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 ▲ 【答案】。 【考点】极坐标与直角坐标的转换，点到直线的距离公式。 【解析】将化为直角坐标方程：，其圆心坐标为。将化为直角坐标方程：。 ∴根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离是。 例5. （2012年广东省理5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为　　▲　　。 【答案】（1,1）。 【考点】参数方程。 【解析】曲线C1的普通方程为：；曲线C2的普通方程为：。 解得。 ∴曲线C1与C2的交点坐标为（1,1）。 例6. （2012年江西省理5分）曲线的直角坐标方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 ▲ 。 【答案】。 【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，转化与化归的数学思想的应用。 【解析】由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得， 又∵，∴。 例7. （2012年湖北省理5分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为 ▲ 。 【答案】。 【考点】极坐标方程，参数方程，曲线的交点。 【解析】射线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为。 联立方程解得。∴线段AB的中点的直角坐标为。[来源:Z.xx.k.Com] 例8. （2012年湖南省理5分） 在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则 ▲ . 【答案】。 【考点】直线的参数方程、椭圆的参数方程。 【解析】将曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得： 曲线：直角坐标方程为，与轴交点为； 曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为。 由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知。 例9. （2012年陕西省理5分）直线与圆相交的弦长为 ▲ . 【答案】。【考点】极坐标方程，圆和直线的关系。 【解析】将极坐标方程化为普通方程为与，联立方程组成方程组求出两交点的坐标和，故弦长等于。 例10. （2012年全国课标卷理10分） 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为 （1）求点的直角坐标； （2）设为上任意一点，求的取值范围。 【答案】解：（1）∵正方形的顶点都在：上， ∴点的极坐标为。 ∴点的直角坐标为： ， 即。 （2）设，则。 ∵ ， ， ， ， ∴ 。 ∵， ∴的取值范围。 【考点】参数方程和极坐标方程，极坐标和直角坐标的转换，三角函数值的范围。 【解析】（1）由正方形的性质，首先求得的极坐标，再转换成直角坐标，两点间距离公式。 （2）根据两点间距离公式，求出的表达式即可求出其取值范围。 例11.