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证明：阶是素数的群是循环群。 分析：证明一个群是循环群的思路有三种： 利用循环群的定义证明群中每一个元都能表示为群中同一个元的方幂； 利用同构的思想，先构造一个恰当的循环群，再证明它和该群同构； 利用本节的知识，先在群中生成一个循环子群，若能证明子群就是该群即可； 实际上，在上面的几种思路中，（3）是最佳选择。 证明： 任取阶为素数的群G 设G的阶为素数 1 令 设的阶为 G为循环群。 证明，阶是的群（是素数）一定包含一个阶是的子群。 分析：若能找出群的子群，则可以观察是否有个元素的子群。如何找呢，由于题设与第一题的题设有类似的条件，可借用第一题的思路。 证明：任取阶为的群G 是素数 1 令 又 令 则即为所求 假定和是一个群G的两个元，并且。又假定的阶是，的阶是，并且。证明：的阶是。 分析：本题的目标是证明某个正整数是某个元的阶，根据元的阶的定义，可分为两步：一、证明元的该次幂等于单位元；二、证明该次幂是使的该元等于单位元的最小正方幂。 证明：的阶是，的阶是 又 设的阶为 又 即 又 同理可以证明： 假定~是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G中的任意三个元来说有：，证明：与G的单位元等价的所有元作成的集合是G的一个子群。 分析：本题实际上是证明G的一个子集是G的子群，根据子群的定义及判定方法可分为两个部分：一、证明子集非空；二、利用子群的判定定理子集为子群。 证明：令 ~为等价关系 对任意的 又 （1） （2） 由（1），（2）可知： H为G的子群。 我们直接下右陪集的定义如下：刚好包含G的可以写成形式的元，由这个定义推出以下事实：G的每一个元属于而且只属于一个右陪集。 证明：G中元必属其中一个 对 G中元只能属于其中一个右陪集 若，使得： 且 这与只具有一种形式矛盾 若我们把同构的群看作一样，一共存在两个阶是4的群。它们都是交换群。 分析：若我们能将群的结构分析清楚，则可以看出是否为两种群。分析结构，可以从群的元着手，也可以从群的子群着手。 证明：任取阶是4的群G 则群G中必有非单位元的元 任取一个记为 当的阶为4时 令 则G=为交换群。 当G中没有阶为4的元 则的阶为2, G中必有另一非单位元 则G=，其运算表如下： e a b ab e e a b ab a a e ab b b b ba e a ab ab b a e 从上面两中情况都可以看出，阶是4的群是交换群。 利用上题证明：一个非交换群至少有六个元。 分析：考虑对阶是1，2，3，4，5的群的交换性进行讨论。 证明：任取一个群G 当G的阶为1时： G=，交换群 当G的阶为2，3，5时 根据本节题1可知，G为循环群。交换群。 当G的阶为4时 根据题4，群G为交换群。 假定群G的不变子群N的阶是2。证明：G的中心包含N。 分析：子群N的阶是2，则,要证明N是不变子群，只需证明对有即可。 证明：设 对有 为中心中的元素 又N为不变子群 当时， 即，不可能 ，即为中心中的元素 证明：两个不变子群的交集还是不变子群。 证明：任取群G及其两个子群 令 对有 ， H为子群 证明：指数是2的子群一定是不变子群。 证明：任取一个群G及其指数为2的子群H 故H有两个左陪集H、G—H及两个右陪集H、G—H 对 当时， 当时， 故H为不变子群。 假定H是G的子群，N是G的不变子群。证明：HN是G的子群。 证明：对，则 又N是不变子群 ，使得 HN是子群。 举例证明：G的不变子群N的不变子群未必是G的不变子群（取） 一个群G的可以写成形式的元叫换位子。证明： 所有的有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群。 是交换群。 若N是G的一个不变子群，并且是交换群，那么 我们有一个集合A到上的满射(。证明：若S是的逆象，一定是S的象；但若是S的象，S不一定是的逆象。 假定群G与群同态，是的一个不变子群，N是的逆象。证明： 假定G和是两个循环群，它们的阶各是和。证明：G与同态，当而且只当 证明： 假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明，也是循环群。 证明：法一：设 对 ，故，使得：