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中考数学专题复习研讨 动点问题探究 ——等腰三角形分类讨论问题 新郑市实验中学 王淑敏 动点问题探究 ——等腰三角形分类讨论问题 图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态问题。 它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。 题型特点：此类问题常集代数、几何知识于一体，数形结合，有很强的综合性。是河南中招的必考题，且每年都为压轴题，以函数与三角形和四边形结合的题目为主。如08年为一次函数与三角形相结合，09年为二次函数与等腰三角形相结合，10年为二次函数与平行四边形相结合。 学情分析： 1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。 2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。 教学方法： 1、教师在教学时引导学生把动态问题变为静态问题来解,抓住变化中的“不变量” 。并从特殊位置点着手确定自变量取值范围, 对基本图形进行充分的分析,画出符合条件的各种草图分散难点、降低难度，将复杂问题简单化。 2、专题化，少而精。如动点问题有等腰三角形、直角三角形、三角形相似、 四边形存在性等问题，这些都需分类讨论，分小专题复习效果更好。 本节课重点来探究动态几何中的第一类型：动点问题——等腰三角形分类讨论问题 （一）自主解决（设计意图：为重点研讨作下铺垫） 1、在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.点T（t，0）是x轴上的一个动点。当t取何值时，△TOP是等腰三角形？ 情况一:OP=OT 情况二:PO=PT T3(-4,0) 情况三:TO=TP 设计意图：引导学生总结以已知线段为边作等腰三角形时，通常要分三种情况讨论：以已知线段为底或为腰。且以已知线段为腰时，以该腰不同顶点为顶角顶点有两种情况。 2、如图：已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s. 若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三角形？ 若△PBC为等腰三角形 则PB=BC ∴t=3 （二）师生互动，探究新知 如图：已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (2)若点P从点A沿 射线AB运动，速度仍是1cm/s. 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？ （小组合作交流讨论，根据分类的标准易得到下面四种情况） 三、 ∴t=3或11或7+或 时 △PBC为等腰三角形 设计意图：总结探究动点关键“化动为静，分类讨论，画出符合条件的各种草图”， 注意一定要分开画. 动脑创新，再探新知：（两个动点问题 ） 如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．（1）求的长．（2）当时，求的值． （3）试探究：为何值时，为等腰三角形． （小组合作交流讨论） 分析：（1）如图①　，求出ＢＣ=10 （2）由 求出 解决动点问题的好助手： 数形结合定相似，比例线段构方程 （3）当M、N运动到ｔ秒时， 若⊿MNC为等腰三角形，须分三种情况讨论： ①当时，即∴ ②当时，过作于由等腰三角形三线合一性质得 在中， 又在中，∴解得 ③当时，过作于点. 解得 综上所述，当、或时，为等腰三角形 总结：直角三角形能用相似解决的问题都能用三角函数法，且用三角函数法针对性更强，更省时间。 （四）实践新知 提炼运用 在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm。设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速运动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速运动，移动速度均为1cm/s,设点P，Q移动的时间为t(0t≤4)。 （1）、写出ΔPBQ的面积S（cm2）与时间t(s)之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？ （2）、当t为何值时，ΔPBQ为等腰三角形？ （3）、ΔPBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值，若不能，说明理由？ （五）拓展延伸 体验中考 （09河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点 B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.????(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PEAB交AC于点E. 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰