三求的数学思想方法.ppt

漫谈数学思想方法 西南大学数学与统计学院 肖 红 题 记：义务教育阶段数学课程的总体目标是： 通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；……。摘自：《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）中华人民共和国教育部制订 提 纲：“求简、求谐、求续”的数学思想方法1、数学思想方法题解2、数学思想方法的“三求”特征3、数学思想方法的学习与教学 1、数学思想方法题解 对什么是数学思想方法？一般可分为两种理解方式做出回答： 一种是微观式理解，另一种是宏观式理解。 1-1、数学思想方法的微观式理解 指某一具体的数学知识（或方法）在形成、发展过程中所表现出的思想方法。 比如：方程的思想方法、函数的思想方法、极限的思想方法、概率统计的思想方法、数形结合法、数学归纳法、反证法……等。 1-2、数学思想方法的宏观式理解 指能充分反映数学特点的具有普遍性的数学思维模式。 比如：抽象概括、化归转换、公理演绎、数学建模等。 1-3、我们应当如何理解数学思想方法 做为一名数学教育工作者，不仅要具有对数学思想方法的微观式理解，更要具有对数学思想方法的宏观式理解。所谓的“既要见树木，更要见森林”。 我们不要仅限于对数学思想方法的“一招一式”的理解，还要有对数学思想方法的更普遍更深刻的理解。只有这样才能全面提高自身的数学素养，开阔视野，培养有创新意识的人。 2、数学思想方法的“三求”特征 求简------形成与表示数学对象的思想方法； 求谐------解释与构建数学知识联系的思想方法； 求续------发展与应用数学知识的思想方法。 2-1、求简------形成与表示数学对象的思想方法 名人名言：在任何情况下，只要是关于数学问题的，就都取决于简化是如何产生的这一问题。 （布鲁纳） 抽象是数学的基本特征之一。所谓求简就是抽象概括。在数学中，人们只是抓住现实世界的空间形式和数量关系，舍弃其它非本质的具体特征，形成抽象的数学对象，并用符号进行表示。 操作与表征是求简的两个必要环节。 操作——为追求简化提供必要的手段 数学对象是一种特殊的对象，即是人们构造出的思维对象，但是它不是凭空产生的，数学对象是人们操作性活动的构造物。 例：数字‘0’产生 《课标》建议：通过学习，“使学生体会数起源于‘数’（shǔ），量起源于‘量’（liáng）, ……使学生体会‘0’的双重含义——作为位置制记数法中的空位记号与作为一个独立的数。” 表征——简化产生后的符号表示 在数学中，经过操作而没有表征，人们就无法真正把握数学对象。正如，“我若不能表征我的所为，我如何知道我思考什么”。 表征是求简后的必然结果。在数学中，我们用符号表示这一结果，又形成进一步的操作对象。总之，在数学中，操作与表征不断的进行交替是求简的主要表现形式。 例：试分析下列问题的数量关系，并用代数式表示。 观察下列图形并填表： 1 1 2 2-2、求谐------解释与构建数学知识联系的思想方法； 数学家有一个信条，那就是数学知识之间的联系是充满和谐的。要么，一个重要的数学结果应当有相应的解释，要么，一个数学定理可从公理或假设出发，经过严谨的演绎推理而得到。若不是这样，数学就要退化为一堆没有联系的公式和华而不实的技巧了。 解释与构建数学知识联系的求谐可分为两种： 横向求谐：对同一知识寻求不同的解释，发现数学知识内在的丰富联系，强调数学的整体性； 纵向求谐：运用严谨的逻辑演绎推理，构建数学知识之间的有机联系，突出数学的理性精神。 横向求谐——寻求同一知识不同解释的联系 在数学中，不存在独立的自在的数学知识对象，它总有相应的解释。也许，这个解释可能并不一目了然，而且在一段时间内也可能没有发现。但是，一个数学知识的意义往往要从更高的理论观点上去看，或者从其它的角度去看，才会看得清楚，这种含义总是有的。 《课标》建议： 对于数与代数的内容，教材要重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题。如，根据平面规则点阵中点的排列规律推导相应的整数列的和（如1+3+5+7+…可表示为正方形点阵）；利用图形理解完全平方公式、平方差公式等恒等式；利用函数图象理解函数的变化趋势。 例 准备多个长方形和正方形卡片（如下图） b a