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2014年第53卷第8期 数学通报 9 从数学家的教学片段得到的启示 傅佑珊 段云鑫 (北京教育学院西城分院100035)(北京广渠门中学100062) 众所周知，数学家大都是教育工作者，因为他 例1 G是AABC的重心，平面口过点G，使 们一般都直接教本科生和带研究生．这中间，他们 A点与B、C两点分别在平面口的两侧．作AEJ-口 不仅传授知识，还要教学习和研究问题的方法，指 导学生如何发现问题和解决问题．在此过程所采 BF、CH的等量关系，并证明你得到的结论． 用的教学方式肯定不是注入式，而是启发、探究、 一位教师在讲这道题时，并不是直接告诉学 自学和讨论交流的方式等． 生结果及其证明方法，而是先把他苦思冥想的思 通过阅读数学家的书籍，其中一些精彩的教 考过程及失败的证明方法都告诉学生，然后他接 学片段很有启迪意义，值得借鉴，现整理出来与大 着说，他是在这个基础上突然悟到一道平面几何 家共享． 题而类比联想得到结论和证明方法的．这道平面 1展示教师的思维过程 几何题是：“将例l中的平面a改成直线l，其它条 数学是逻辑推理的思维科学，“数学教学是数 件不变，求证：AE—BF+CH”．这样学生也很快 学思维活动的教学”(前苏联数学教育家斯托利亚 就解决了例1．事后随堂调查了几个学生，他们 尔语)．因此在教学过程中就要尽量展示学生、教 说：老师经常这么讲，收获很大，学起来也很感兴 材(知识的形成和发展过程)和教师的思维过程， 趣．也许这就是展示教师思维过程的魅力吧． 但后者是非常罕见的． 2猜想 所谓展示教师的思维过程是指：对于比较难 猜想是数学家的重要思维方式．数学教育家 的问题，教师怎么想就怎么讲，不要“掐头去尾取 G．波利亚在《数学与猜想》一书中指出，数学的创 中段”．概括地讲，就是要完整地展示教师的思维 造过程经过两步：首先经过合情推理(如类比和归 过程． 纳等)发现结论，提出猜想，然后再通过论证推理 必须指出，展示教师的思维过程是数学家的 而得到证实．而论证推理的方法有时也要通过合 重要教学方式．大数学家希尔伯特在回忆他的成 情推理去发现．所以波利亚呼吁教师在教学中要 功时指出：在德国哥尼斯堡大学城里，他的导师的 教猜想，这是因为：“没有大胆的猜想，就做不出伟 大的发现”(牛顿语)． 讲课过程使他受益匪浅．他说：他的导师的讲课与 众不同，习惯于在讲课时把自己置于危险境地，对 G．波利亚不仅呼吁教猜想，而且还身体力行 要讲的内容总是在黑板上边讲边推(理)边擦(黑 加以实践．有一次他在教学生时，要求学生将勾股 定理推广到立体几何中去，结果发现学生有两种 板)，给人印象好像没有备课．但这样一来就使得 推广(猜想)方法(如图：PA、PB、PC两两垂直)： 希尔伯特和他的同学们有机会看一看数学家的思 C 维过程是怎样进行的，既有成功，又有失败，并不 总是一帆风顺的． 在中学数学教学中，对于比较难的问题，一般 老师都是把失败的思维过程抹掉，只讲成功的一 面．当然也有些老师做得不错的． 万方数据 10