克劳修斯不等式证明的一点补充.pdfVIP

维普资讯 大 庆 石 油 学 院 学 报 第3O卷 第 5期 2006年 10月 JOURNALOFDAQING PETROlEUM INSTITUTE V01．3O No．5 Oct． 2006 克劳修斯不等式证明的一点补充 马春曦，朱元海，桑希勤 (大庆石油学院化学化工学院，黑龙江 大庆 163318) 摘 要：补充了由卡诺定理导出二热源克劳修斯不等式的过程中存在 的不足，指出把任意不可逆循环分解成无限多 不可逆微卡诺循环之和，并据此证明任意不可逆过程 的克劳修斯不等式在理论上是不严格的，建议采用较严格的费米 法 ． 关 键 词：克劳修斯不等式 ；熵 ；温标 中图分类号：0642．1 1 文献标识码 ：A 文章编号：1000—1891(2006)05—0093—03 克劳修斯不等式的证明一般是先讨论卡诺循环，给出只与理想气体绝对温度有关的卡诺热机效率，再 由热力学第二定律证 明热机的卡诺定理，得到 2个热源存在下的克劳修斯等式和不等式．然后将任意循 环分解成无限多小卡诺循环，得到任意循环的克劳修斯等式和不等式，并 由此导出熵函数和熵增加原理． 但是笔者发现从热机 的卡诺定理得到 的双热源不等式 的证 明过程是不完全 的，文 中给出补充 ，并进行 讨论． 1 二热源克劳修斯不等式证明的补充 根据热机的卡诺定理 ：工作在 2个热源之间的所有热机以可逆卡诺热机的效率最高工作在 2个热源 之间的所有可逆热机效率都相等，与工作物质无关．热机效率 一1+Q ／Q ，可逆热机效率 (R)一1一 丁2／丁 ，Q (Q0)是从高温热源 丁 吸取的热量 ，Q (Qdo)是从低温热源 丁 吸取 的热量．根据卡诺定 理有 (R)，有一丁2／rfl≤Q ／Q ，因为Q0，将公式移项变形得 Q ／丁 十Qz／丁2≤ 0， (1) 这就是一般文献上二热源克劳修斯等式和不等式的证 明过程 ，有时也统称克劳修斯不等式．2个热 源的克劳修斯不等式是证 明熵增加原理的基础 ，式 (1)没有对 Q ，Q 的正负，丁 ，rf2的高低作出任何约 定 ，即该式在 Qd0的情况下也成立．而式(1)的变形要求高温热源交换 的热 ，所 以上述关于二热源 的克 劳修斯不等式的证明是不完备的，有必要进行补充． 先用热力学第二定律证明一个结论 ：工作在两热源之间的所有制冷机以可逆制冷机的效率最高 ，所有 可逆制冷机的效率都相等 ，与工作物质无关．此结论可称为制冷机 的卡诺定理，其证法和热机的卡诺定理 类似 ，这里不必重复．据此证 明向高温热源放热的情况下二热源克劳修斯不等式成立．定义制冷机 的制 冷因数 一一Q ／(Q：+Q)，Q：(Q：do)是从高温热源吸收的热量，Q 为从低温热源 丁 吸取的热量．因 』9(R)一Tz／(T一T)，由． 卢(R)，即一Q；／(Q；+Q；)≤T ／(T ～T )，得一(Q；+Q：)／Q；)≥(T 一T)／ 丁2，因为 Q；0，故总有 Qi／丁 +Q ／丁 ≤ 0． (2) 式 (1)与式(2)结合就可得到任何情况下都适用的克劳修斯不等式．从 以上讨论可 以看 出，必须把热 机的卡诺定理和制冷机的卡诺定理结合起来才能给出克劳修斯不等式完备 的证 明． 收稿 日期：2006—06—05；审稿人：蔡经炳 ；编辑 ：陆雅玲 作者简介 ：马春曦(1949一)，男 ，副教授 ，主要从事基础化学方面的研 究 维普资讯 大 庆 石 油 学 院 学 报 第 3O卷 2006年 2 任意循环克劳修斯不等式的证 明 现行教材多将任意可逆循环分解成无限多微卡诺循环，由二热源的克劳修斯等式 Q ／丁+Q：／丁。一0 证明任意可逆循环的克劳修斯等式 ／