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两个乘法公式的运用解剖 摘要： （a+b)(a-b)=a2-b2 和（a±b）2= a2±2ab+b2这两个是属于多项式乘多项式，并且这里的字母代表的不只是简单的实数，而是参与了学生刚刚接触的整式、代数式。多项式的乘法运算是以后学生不可缺少的部分，而（a+b)(a-b)=a2-b2 和（a±b）2= a2±2ab+b2又刚好是这一块的重点加难点，所以也就要求学生能够熟练的正确的应用公式。那么在遇到形式比较复杂的表达式时，学生又该如何去辨认呢？对于初一刚接触代数式的学生而言，这些看似简单的公式在实际应用过程中学生却极容易出错，经常犯的错误有以下几个方面： ①当出现两个多项式相乘时，能否套用公式？套用哪个公式？ ②什么情况下可以用这个公式？2个公式有什么特征？ ③怎么运用这两个公式？ 作为老师，我们该如何教学生自己去处理这两个难点呢？ 什么情况下套用公式，如何应用公式去进行多项式的乘法运算 在这里我就上述三个问题对这两个公式做简单的解析，下面先对(a+b)(a-b)=a2-b2进行分析。 1、（a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式，定义：两数和与两数差的乘积等于这两个数的平方差。 观察公式在数值上的特征，只出现a、b两个相同的数值；在符号方面，(a+b)(a-b)中，a的符号相同，b的符号不同（即互为相反数）。因此，可以归纳为：多项式×多项式，若出现下列特征的可以用平方差公式去套用： 特征：①数值相同；②符号不同。例如，（2a+3b）(-3b+2a)中，数值只有2a和3b，且2a、2a的符号是相同的，3b、-3b前面的符号不同（一正一负）；又如，（4x+y）(4x-y)中，4x、4x符号相同，y、-y符号不同，因此可以套用平方差公式。那么在结果a2-b2中，又该如何确定哪项作为被减数呢？在1中已经提到a的符号是相同的，b的符号是不同的，所以可以得出结论：（同）2－（不同）2，其中同、不同表示符号，所以一整体就有如下结论：两个多项式相乘，如果①数值相同；②符号不同 则可以用平方差公式，其结果为（同）2－（不同）2。在(a+b+c)(a-b+c)运算中，能否应用平方差公式呢？又该如何运用平方差公式呢？观察到题中数值也都对应相同，题中a、a，c、c相同，b、-b不同，因此可以根据（同）2－（不同）2得到（a+c）2－（b）2。例如：（3x-2y+3z）（-3x-2y-3z）中，-2y、-2y相同，3x、-3x，3z、-3z不同，根据结果为（同）2－（不同）2得到（-2y）2－（3x+3z）2。 2、（a±b）2= a2±2ab+b2完全平方公式，定义：两数和（差）的平方，等于这两个数的平方和，再加上（或减去）这两个数的两倍乘积。 根据平方的意义，式中（a±b）2表示两个（a±b）相乘，即（a±b）2=（a±b）（a±b）。和平方差公式一样，先观察在（a±b）（a±b）中，①数值有何特征？②符号有何特征？我们不难发现：数值相等并且符号也相同。因此，我们就有，在多项式乘以多项式中，如果两个两个多项式中数值和符号都相同，就可以用完全平方公式来计算。 经常我们会遇到像（a+b）（-a-b）的乘法式子，发现其数值也都相同，只是符号却都不同。那么（a+b）（-a-b）该如何计算呢？把（-a-b）提取“-”可化为-（a+b）∴（a+b）(-a-b)=- (a+b)(a+b)，再看后则，出现了(a+b)(a+b)，是完全平方公式的典型，只是前面多了一项是“-”，可以看成是相反数，所以就可以将其等于-(a+b)2。因此：出现下列特征的多项式也可以用完全平方公式计算。特征：①数值相等。②符号：同，同或不同 、不同。 如：（3x-2y）（-2y+3x）中3x、3x相同、-2y和-2y相同，所以可以用完全平方公式计算（3x-2y）（-2y+3x）=（3x-2y）2 。（3x-2y）（-3y+2y）中，3x、-3x不同，-2y和2y也不同，因此也可以用完全平方公式计算，（3x-2y）（-3y+2y）=-（3x-2y）2 。 在（a±b）2=a2±2ab+b2中（a±b）2=(首)2±2乘积+（尾）2。其中（首）2、（尾）2前面符号相同且为正，两倍乘积前面符号看前面。但是有时候我们遇到的式子并不是完全按照公式格式来写的，那么结果会是怎么样呢？两倍乘积会有何特征吗？例如： （2x+y）2=(2x)2+2.2x..y+(y)2=4x2+4xy+y2 (2x-y)2=(2x)2+2.2x.(-y)+(y)2=4x2-4xy+y2. (-2x+y)2=(-2x)2+2.(-2x).y+(y)2=4x2-4xy+y2. (-2x-y)2=(-2x)2+2.(-2x)(-y)+(y)2=4x2+4xy+y2. 观察：①④的结果相同为+4xy,②③的结果相同都是-