概率论与数理统计第11讲1 .pptVIP

概率论与数理统计第11讲 第七章 参数估计 统计推断问题可以分为两大类, 一类是估计问题, 一类是假设检验问题. 本章讨论总体参数的点估计和区间估计.设总体X的分布函数的形式为已知, 但它的一个或多个参数为未知, 借助于总体X的的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题. 例1 在某炸药厂, 一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量, 假设它服从以l0为参数的泊松分布, 参数l为未知, 现有以下样本值, 试估计参数l. 解 由于X~p(l), 故有l=E(X). 我们自然想到用样本均值来估计总体的均值E(X). 现由已知数据计算得到 得到E(X)=l的估计为1.22. 点估计的一般提法为: 设总体X的分布函数F(x;q)的形式为已知, q是待估参数. X1,X2,...,Xn是X的一个样本, x1,x2,...,xn是相应的一个样本值. 点估计问题就是要构造一个 两种常用的构造估计量的方法: 矩估计法  最大似然估计法 (一)矩估计法 设X为连续型随机变量, 其概率密度为f(x;q1,q2,...,qk), 或X为离散型随机变量, 其分布律为P{X=x}=p(x;q1,q2,...,qk), 其中q1,q2,...,qk为待估参数, X1,X2,...,Xn是来自X的样本. 假设总体X的前k阶矩 因为样本矩 依概率收敛于相应的总体矩ml(l=1,2,...,k), 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数. 因此就用样本矩作为相应的总体矩的估计量. 这种估计方法称为矩估计法. 矩估计法的具体做法为:设 这是一个包含k个未知参数q1,q2,...,qk的联立方程组. 一般可从中解出q1,q2,...,qk, 得到 以Ai分别代替上式中的mi, i=1,2,...,k, 就以 分别作为qi, i=1,2,...,k的估计量, 这种估计量称为矩估计量. 矩估计量的观察值称为矩估计值. 例2 设总体X~U(a,b), a,b未知. X1,X2,...,Xn是来自总体X的样本, 试求a,b的矩估计量. 解得: 分别以A1,A2代替m1,m2, 得到a,b的估计量分别为: 例3 设总体X的均值m及方差s2都存在, 且有s20, 但m,s2均为未知. 又设X1,X2,...,Xn是来自X的样本. 试求m,s2的矩估计量.解 分别以A1,A2代替m1,m2, 得m和s2的矩估计量分别为 (二)最大似然估计法 若总体X属离散型, 其分布律P{X=x}=p(x;q), q?Q的形式为已知, q为待估参数, Q是q的可能取值范围. 设X1,X2,...,Xn是来自X的样本, 则X1,X2,...,Xn的联合分布律为 又设x1,x2,...,xn是相应的一个样本值. 则P{X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn}的发生概率为 这一概率随q的取值而变化, 它是q的函数, L(q)称为样本的似然函数(注意, 这里的x1,x2,...,xn是已知的样本值, 它们都是常数).直观想法是: 现在已经取到样本值x1,x2,...,xn了, 这表明取到这一样本值的概率L(q)比较大 . 当然不会考虑那些不能使样本x1,x2,...,xn出现的q?Q作为q的估计. 如果已知当q=q0?Q时使L(q)取很大值而Q中的其它值使L(q)取很小值, 自然认为取q0为q的估计值较为合理. 若总体X属连续型, 其概率密度f(x;q),q?Q的形式已知, q为待估函数, Q是q可能取值范围. 设X1,X2,...,Xn是来自X的样本, 则其联合概率密度为 设x1,x2,...,xn是相应的一个样本值, 则随机点(X1,X2,...,Xn)落在点(x1,x2,...,xn)的邻域(边长分别为dx1,dx2,...,dxn的n维立方体)内的概率近似地为 在很多情形下, p(x;q)和f(x;q)关于q可微, 这时q常可从方程 解得. 又因L(q)与ln L(q)在同一q处取到极值, 因此, q的最大似然估计q也可以从方程 例4 设X~b(1,p), X1,X2,...,Xn是来自X的样本, 试求参数p的最大似然估计量. 最大似然估计法也适用于分布中含多个未知参数q1,q2,...,qk的情况. 这时, 似然函数L是这些未知参数的函数. 分别令 解上述由k个方程组成的方程组, 即可得到各未知参数qi (i=1,2,...,k)的最大似然估计值 . (1.7)称为 对数似然方程组. 例5 设X~N(m,s2), m, s2为未知参数, x1,x2,...,xn是来自X的一个样本值. 求m, s2的最大似然估计值.解 X的概率密度为 似然函数为 例6 设总体X在(a,b)上服从均匀分布, a,b未知, x1