几何画板技术与数学教学整合的实践与研究.doc

几何画板技术与数学教学整合的实践与研究 廖东明 关键词：几何画板，“动态”几何或图象，高中数学教学，整合，辅助作用 几何画板是一个适用于几何（平面几何、解析几何、立体几何等）及函数图象教学的软件平台．它为教师和学生提供了一个探索代数及几何图形内在关系的环境．它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测量、计算、动画、跟踪轨迹等，显示或构造出其他较为复杂的图形．它的特色首先是能把较为抽象的代数关系和几何图形形象化，但是它的最大特色是“动态性”，即可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有代数或几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在数据和图形的变化中把握不变，深入数学的精髓，突破传统教学的难点．几何画板与高中数学教学整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质，有利于教师、学生、课件之间的互动，有利于培养学生的探索、创新能力，有利于提高教学效率．几何画板与数学教学整合的案例类型有：（1）动态图象探究型；（2）复杂数据计算型；（3）算法程序型；（4）综合课题研究型．其中动态图象探究型是重点．本文就动态图象探究型的实践与研究抛砖引玉． 一、利用几何画板加深对概念的理解 几何画板以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教学中大显身手．如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系． 如在学习椭圆或双曲线的定义时，借助几何画板作图，将椭圆或双曲线的生成作动画 演示：拖动点审视点跟踪得到的轨迹；当（点和点为焦点）拖动点看椭圆的变化，当拖动点看双曲线的变化；教师提醒学生推理可得，当时，椭圆蜕变为线段，双曲线蜕变为分别以焦点为端点的两条射线（射 线在两焦点所连的直线上）；当时椭圆的轨迹不存在，当时双曲线的轨迹不存在．这样，让学生在动态中去观察、探索和发现对象之间的数量关系与位置关系，从“听数学”转变为“做数学”，从而对椭圆或双曲线的概念必定理解透彻，印象深刻，考试起来自然得心应手． 二、利用几何画板探索数学对象的性质 新课标教材必修1中，用几何画板研究一次函数（）、反比例函数（）、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等的图象与性质是方便快捷且有效的． 如研究幂函数的性质．当时，其定义域为；当为负整数时，定义域为；当为正整数时，定义域为．在同一坐标系中作出、、、、、、的图象（静态的），然后制作滑块，作出函数的图象．这些图象在5分钟内可以作出（含设置线的粗细、着色、将函数式拖至相应曲线等）．通过拖动点或点击动画点按钮，就可以观察在第一象限内的动画图象．进而指导学生观察、归纳出幂函数的性质． 又如拓宽视野而研究函数（）的性质．当且时，函数为奇函数，图象在第一、三象限，关于原点对称，为双钩函数，单调递增区间为和，单调递减区间为和，这是一个用途很大的函数．当且时，在和上均单调递增；当且时，在和上均单调递减；当且时，的图象在第二、四象限，也为双钩函数．既作静态图象，又作动态图象（制作滑块和滑块，作出函数的图象，拖动滑块或滑块可显示动画效果，本课件在上课时用4分钟即可完成），学生理解就可较为深刻．教师可顺势强化：增函数＋增函数=增函数，减函数＋减函数=减函数，增函数＋减函数的结论则复杂（可能是增函数，可能是减函数，可能时而增时而减）．学生在课后用单调性定义给出相应证明，一方面巩固并加深理解，另一方面使函数单调性证明熟练化． 三、利用几何画板突破教学难点 高中数学的抽象性、动态性和推理、运算的高要求性，使得学生高中数学学习难点较多．而一些数形结合的难点问题可以通过几何画板来突破． 如探求二次函数在给定闭区间上的最值问题是一大难点．分为轴定区间定、轴定区间动、轴动区间定、轴动区间动（不要求掌握）四大类，利用几何画板数形结合可实现突破．首先研究轴定区间定型，如“求函数（即）在下列区间上的值域：（1）；（2）；（3）；（4）．” 利用几何画板作图，并利用函数的图象的对称轴、开口方向、单调性等容易求出函数的值域分别为、、、．继而小结：“（1）最大值和最小值一定会在区间的左右端点或顶点处取得；（2）求二次函数（）（）的值域，要考虑它的图象的对称轴是否落在指定的区间内，再结合图象的开口方向及单调性求出最大值和最小值．” 再研究轴定区间动型．如“已知函数，的最小值为，求的解析式．”如下述图形，数形结合，让区间自左向右移动，不难求出 最后研究轴动区间定型．如“求函数在区间上的最大值与最小值的表达式．”函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，如下述图形，数形结合，利用抛物线的开口方向、对称轴、单调性、当抛物线开口向上时抛物线上的点