酉群的某些性质.pdfVIP

第 30卷第 2期 怀化学院学报 Vo1．3O．No．2 2011年 2月 JoURNALoF HUAIHUA UNIVERSITY Feb．，2011 酉群的某些性质 杨 娟 ， 肖 艳， 罗清华 (江西蓝天学院 公教部 ， 江西 南 昌 330029) 摘 要 ：利用类比的方法将 酉群 SU(1，2；C)的部分性质推广到 n维 ，得到 了酉群 SU(1，，l；C)的一些性质 关键词 ：斜驶元素 ； 抛物元素 ； 椭 圆元素 ； 特征值 中图分类号 ：0174．51 文献标识码 ：A 文章编号 ：1671—9743 (2011)02—0026—04 l 引 言 在双曲几何 中，关于酉群的性质 ，在文献 [1—5]中都给出了很详细的各种性质 ．而在文献 [6]中， JohnR．Parker将 日 中全纯复双曲等距群A分为以下三类 ： (1)若 A只在3 2r上有两个不动点，则A为斜驶元素； (2)若 A仅在 3H 上有一个不动点 ，则 为抛物元素； (3)若 A在 内至少有一个不动点，则 A为椭圆元素 ． 特别地椭圆元素又分为边界椭圆元素与正则椭圆元素 ，若 A在aH 上有两个不动点则A为边界椭圆元素 ， 否则 A为正则椭圆元素 ． 同时，他证明了如下定理 ： 定理 A 设 A是酉群 SU(1，2；C)中的矩阵 ．则有下列三种情况之一成立 ： (1)若 A有两个零特征向量 和 且 l I≠1，则 A为斜驶元素； (2)若 A有一个模等于 1的特征值 ，且它的向量空间是 由零 向量生成的，则 A为抛物元素； (3)若 A有一个负的特征向量，则 A为椭圆元素 ． 本文主要是将定理 A推广到n维复空间中，得到如下定理 ： 定理 设 A是酉群 SU(1，n；C)中的矩阵 ．则有下列三种情况之一成立 ： (1)若 A有两个零特征向量 和 且 I I≠1，则 A为斜驶元素； (2)若 A有一个模等于 1的特征值 ，且它的向量空间是由零向量生成的，则 A为抛物元素 ； (3)若 A有一个负的特征向量 ，则 A为椭圆元素 ． 2 基本知识 设A：(aji)是 k×z阶复矩阵，A = ( )．若 A=A ，则A为Hermitian矩阵 ．定义 Hermitian内积 (… ) 为 ： ， 、 一 一 一 z，W= l l+z2W2+ 3W3+… +gnW 一 n+lW十1． 其 中z：(z，：，…， )∈C ，W= (W。，W：，…，W )∈C ．若 (Az，Aw)= (z，W)，则称 A为酉矩阵，所 有酉矩阵在矩阵加法 、乘法下形成了一个群 ，叫做酉群 ，记做 U(1，n；C)，我们将着重研究其中满足条件 detA ： 1的那些矩阵所组成的子群 s (1，n；C)．在 中全纯复双曲等距群 分为以下三类 ： (1)若 A只在 3Hi上有两个不动点，则 A为斜驶元素 ； 收稿 日期 ：2011—02—08 作者简介 ：杨 娟 (1982一)，女，湖南洞口人 ，江西蓝天学院助教，硕士，主要研究复分析 第 30卷第2期 杨 娟，肖艳 ，罗清华 ：酉群的某些性质 ·27 · (2)若 A仅在 attc上有一个不动点，则 A为抛物元素 ； (3)若 A在 日：内至少有一个不动点，则 A为椭圆元素 ． 3 定理 的证 明 为 了证明定理 ，我们首先证明以下一些引理 ． 引理 3．1 设 ∈SU(1，n；C)且 是A的一个特征值 ，则 也是 A的特征值 ，其 中 ∈ c 证明：因为 AE SU(1，n；c)，我们可以设 A是保持 Hermitian内积 ()的酉矩阵，则