北京四中高中数学-任意角的三角函数基础知识讲解-新人教A版必修1.docVIP

任意角的三角函数 【学习目标】 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3．会应用三角函数的定义解决相关问题。 【要点梳理】 要点一：三角函数定义 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1)叫做的正弦,记做,即； (2)叫做的余弦,记做,即； (3)叫做的正切,记做,即. 要点诠释： 三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。 要点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 要点诠释： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。 要点三：诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 ，其中 ，其中 ，其中 要点诠释： 该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应. 要点四：单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段. 要点诠释： 三条有向线段的位置： 正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段； 余弦线在轴上； 正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上； 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外. 【典型例题】 类型一：三角函数的定义 例1．已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan的值。 【思路点拨】先根据点求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论，，或，， 【解析】 。 若a＞0，则r=5a，是第二象限角，则 ， ， ， 若a＜0，则r=－5a，是第四象限角，则 ，，。 【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。 举一反三： 【变式1】已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。 【答案】或 【解析】因为角的终边在直线上， 所以可设为角终边上任意一点。 则（a≠0）。 若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以 ， ， 。 若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。 类型二：三角函数的符号 例2．判断下列各三角函数值的符号 （1）；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°。 【答案】（1）＞（2）＞（3）＞ 【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。 （2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0。 ∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0。 ∴tan120°·sin269°＞0。 （3）∵191°是第三象限的角， ∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0。 举一反三： 【高清课堂：任意角的三角函数385947 例3】 【变式1】确定下列各三角函数值的符号. （1）；（2）；（3）；（4）； （5）； （6），其中是第二象限角. =―2cos，确定tan的符号； （2）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号； （3）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？ 【答案】（1）＜（2）＜（3）四 【解析】（1）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。 （2）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。 （3）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角， 又cos＞0，所以为第一或第四象限角， 所以为第四象限角。 类型三：诱导公式一的应用 例3．（1） （2）sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°。 【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。 【答案】（1）（2）4 【解析】（1）原式。 （2）原式= sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(