北京四中高中数学-二倍角的正弦、余弦和正切公式提高知识讲解-新人教A版必修1.docVIP

二倍角的正弦、余弦和正切公式(提高) 【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立； (2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：； 2．和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用 ；． ． ． 2．公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)； 3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】 类型一：利用二倍角公式的简单应用 例1.求下列各式的值： （1）；；（3）． 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （3）． 【总结升华】 解答本类题型重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等，抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起至关重要的作用，而且抓住了公式的特征，有利于在解题时观察分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想到相应的公式，从而找到解题的切入点． 举一反三： 【变式1】求值：（1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=． 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例2. 求sin6°·sin42°·sin66°·sin78°的值． 【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：将原式中角度成二倍角的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．方法二：把原式作为A式，然后把A式中正弦形式全部化为余弦形式，把这个式子作为B式，再两式相乘． 【答案】 【解析】 方法一：原式 【总结升华】一般地，对于，可以通过乘以sinα后连结使用二倍角公式化简，这样便可以生产“连锁反应”． 方法二：设所求为A，即A=sin6°·sin42°·sin66°·sin78° 设B=cos6°·cos42°·cos66°·cos78° 则 = 【总结升华】在不能观察到所求角的互余角的倍数关系以前．通过设B来构造可以利用二倍角公式的“对偶”式，算出乘积再约去B．从而得到原式的值．这也是处理类似问题的一种常见方法． 举一反三： 【变式1】 【解析】 例3．求值：． 【思路点拨】化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路． 【答案】 【解析】 原式 ． 【总结升华】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式，使得问题简单化． 举一反三： 【变式1】求值 【解析】原式= = = =4 【变式2】求值 【解析】原式= = = = =1 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式 例4．化简：． 【思路点拨】观察式子的结构，把倍角展开成单角，然后再进行化简． 【答案】 【解析】 方法一：原式 ． 方法二：原式 ． 方法三：原式 方法四：原式 ． 【总结升华】 在对三角函数作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法． 举一反三： 【变式1】化简下列各式： (1)（2） 【答案】（1）（2） 【解析】(1) (2) 原式= = = = = 【变式2】化简：． 【答案】1 【解析】原式