北京四中高中数学-两角差的余弦公式提高知识讲解-新人教A版必修1.docVIP

两角差的余弦公式(提高) 【学习目标】 1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. 2．通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质. 【要点梳理】 要点一：两角差的余弦公式 1．两角差的余弦公式的推导： （1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则 由向量数量积的概念，有 ，结合向量数量积的坐标表示，有 所以= （*） （2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的．为此，我们讨论如下： 由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使． ①若，则． ②若，则，且 由以上的讨论可知，对于任意的，都有： = 2．公式的记忆 右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反． 要点诠释： (1)公式中的都是任意角． (2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即． (3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦． 要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用 1．逆用 = 要点诠释： 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到 ． 2．角变换后使用 ． 3．移项运用 4．特殊化使用 5．以代 即 【典型例题】 类型一：利用差角的余弦公式进行证明 例1．求证： （1） （2）代，利用两角差的余弦公式展开．（2）利用及两角和的余弦公式可证得． 【证明】（1）= = （2） = = = = 举一反三： 【变式1】 证明： = = = = = 类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式 例2．（1）； （2）． 【解析】 （1）原式 ． （2）原式= = = = = 【总结升华】 两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（2）题的（）可视为一个整体．分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型． 举一反三： 【变式1】（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°； （2）cos(－35)°·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)； （3）cos 40°cos70°+cos20°cos50°； （4）； 【解析】（1）原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0． （2）原式． （3）原式． （4）原式 类型三：利用差角的余弦公式求值（或角） 例3．已知，，，均为锐角，求． 【思路点拨】 【解析】∵，均为锐角，∴，， 由，， 易知，． ∴ ． 【总结升华】 举一反三： 【变式1】已知，，且、、均为锐角，求的值 【解析】因为、均为锐角，故，，均在（0，π）内，所以，． 而， 所以 ． 例4．已知、均为锐角，且，，求的值． 【思路点拨】先求，然后根据确定的范围． 【答案】 【解析】 ∵、均为锐角，且，， ∴，， ∴ ． 又∵，，， 而，∴，即， ∴，∴． 【总结升华】 此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值． 举一反三： 【变式1】 已知、为锐角，，，求角的值． 【解析】 ∵为锐角且， ∴． 又为锐角，∴， 又，∴． ∴． ∴ ． 又为锐角，． 【总结升华】（1）本题运用了角的变换技巧，抓住条件角与结论角的关系解题．（2）应注意运用三角函数值的大小关系这一隐含条件来研究角的范围． 【变式2】若，，求的值． 【解析】 （1） （2） （1）2+（2）2得：2+2=1 类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用 例5．已知三点、、．若向量（k为常数，且0＜k＜2），求的最大、最小值及相应的k值． 【思路点拨】由题意得，因为要求的最值，所以想法消去可解得． 【答案】当k=1时，最大值；当或时，最小值－1． 【解析】 由已知得． 移项得． ①2+②2得． ∴ ∵0＜k＜2，故k=1时，有最大值， 又，∴的最小值为－1， 此时，解得或． 综上所述，当k=1时，有最大值； 当或时，有最小值－1． 【总结升华】（1）向量与三角函数有机结合，是近几年高考的一个亮点，希望引