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46 一阶非线性时滞系统正解的存在性及渐近性 一阶非线性时滞系统正解的 “存在性及渐近性 杨玉华 (华北电力大学保定071003) 摘要本文首先证明了一个关于最终正解性质的不等式，利用此不等式始出了变号的非线性系 统最终正解的存在性、渐近性及系统振动的几个充分条件和必要条件。 关键词非线性时滞系统最终正解存在性渐近性 文”1研究了可变号的线性系统解的渐近性和振动性，文”o研究了不变号的非线性系统解的情 况，本文讨论如下可变号的非线性系统。 ；+∑P。(t)“x(t—t(t))=0 (1) ’t≥to 1，2，…，m。保证系统(10的解在[t。，+*)上存在。 m，，0。则称函数p。(t)，…，‰(t)对，满足条件(A)。 则系统(1)的最终正解(负解)x(t)必最终不增(不减)且满足 m m 釜P。(￡)，(x(￡一rf(‘))≥，(x(t—rm(￡))苫只(¨ M ‘m (苫P。(t)，(z(t～≈(t))≤，(x(t—k(t))墨P。(t) 在[t1，tl+r]上有p1(t)≥o。f=1，2，…，m，又矿(u)0，u≠o，从而有 i=一互Pi(t)“Ⅳ(t—t(f))≤o 性知． ， ，(g(t—rt(f)))≥，(Ⅳ(f—r。(t)))≥…≥以≈(f—r。(￡)))≥o 微分方程理论和应用 47 ≤……≤一(Pl(t)+P2(￡))+…+P巩厂(z(￡一h(￡)))≤O +(t+1)％]上单调非增，t为正整数，令^一+*有，x(￡)在【t，，十*)非增，且有 姜只(r沙(z(t—z。(f)))≥以z(z—k(￡)))善只(z) 对负解的情况同理可证。 推论若定理1的条件成立，则系统(1)的非振动解z(f)满足lirax(t)存在。 定理2若定理1的条件成立且∑I r．+。 ‘2I J‰ x(t)=0。 证明设x(t)是系统(1)的一个非振动解，由定理1及推论知lira 证明c=0。 1帮到￡积分得。 令t一十o。得 ． c—x(L)≤一““；釜J，A(s)击 又∑f P。(‘)血=+*，故C一Ⅳ(T。)一*，矛盾，定理结论成立。 …ot 兰l P。(s)ds收敛。 …JtO P： (1)两端的从￡。到￡。+p。积分得 。(k+n)一。(k)：一f∥“量A(。)，(。(。一。(。)))出 ‘一’ J‘n ．≤一“；(“+^一k(k+n)))璺f。“p：(。)(。)出 ‘…l‘ ≤一eo，(z(t。+P。一r。(t。+P。)) 令n一+∞得： O≤一eo，(C)0 矛盾，定理结论成立。