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54 关于周期系数Abd方程的周期解问题 关于周期系数Abel方程的周期解问题 冯兆生张培军张后扬 (北方交通大学数学系北京100094) 摘‘襄本文主要利用Bromr不动点定理和三次代数方程存在实根的方法，得到了周期系数Abel 方程只存在一个或三个实周期解的充分条件。 关键词不动点周期解Abel方程 _l：，j●●-，●●●j 众所同知，周期解问题一直是微分方程定性理论中一个重要的问题，同时也是从事实际工程的 科技工作者最感兴趣的问题之一。文‘”33详细讨论了周期系数的Riccati方程 y’。口(f)广+b(c)y十c(t) (1) 周期解的存在性。文“’研究了更广泛的周期系数的微分方程 (2) Y一口(t)广+b(￡)y+c(t)(玑∈Ⅳ，玑≥2) 实周期解，却没有作迸～步讨论。 ， 本文探讨了周期系数的Abel方程 Y”A(‘)，+占(‘)Y+C(f) (3) 周期解的充分条件。 为行文方便，下文中我们均假设 (i)A(t)、B(t)和c(t)均是以cu(uo)为周期的实连续函数 (ii)A(f)≠0 引理。?若A(￡)≠o，则方程(3)至多存在三个u实周期解。 定理1若A(t)B(t)0，则方程(2)有且仅有唯一的cu实周期解。 证明不妨设A(1)0，否则，以一￡代z加以证明。 {A‘：’专r-“， 、B“)’专…。(‘)、剑 (4) lKI,3一删Z—M0 取，1(t)=L，正(￡)=一L，则沿Y=工(t)(i=1，2)，方程(3)的方向场向量 乱“，)=A(￡)L3÷B(t)L+c(￡) 墨一甩3+ML+眦 0 (5) 警L；)=以(f)L3+B(#)￡+c(f) ≥一KL3一ML一肘0 (6) ’。：微分方程理论和应用 。 55 由(5)、(6)。得到 乱加，c丁dA(t)，乱舯，；掣 (7) 设Y=y(￡)是方程(3)的解，在闭区间[一L，￡]上作映射n Tz：V r(o)E[一￡，￡]，T，[y(O)]=y(∞) 显然，瓦是[一L，L]上的连续映射。 由(7)，可得T1([一L，L])亡[～￡，￡] (3)至少有一个实u周期解。 定理知，Y=Y，(1)和Y=弛(1)不会相交。不妨设y。(￡)y2(#)，于是，有 Y Y Y Y2 0 J[’】(￡)一7：(￡)]疵=[。(￡)一(￡)]；= (9) 易见，(8)和(9)矛盾。因此，方N(3)R存在一个“实周期解。定理证毕。 考虑三次代数方程 A(T