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10.第一次数学危机与第四次数学危机的比较 第一次数学危机与第四次数学危机的比较 董玉振 陈焕 吴和琴 王春霞 （河北工程大学 河北邯郸市 056038 ） 摘要：本文通过对 一次数学危机与 四次数学危机的比较，更进一步阐明模糊数学危机 的原因。 关键词： 一次数学危机；模糊集；映射；吴华英难题 Comparison the First and Fourth Mathematical Crisis Dong Yu-zhen Chen Huan Wu He-qin Wang Chun-Xia (Hebei University of Engineering, Handan, 056038 ) Abstract:Through the comparison of the first mathematical crisis and the fourth mathematical crisis, this paper points out the reason for fuzzy mathematics crisis. Key words: the First Mathematical Crisis; Fuzzy Sets; Mapping; Wu Hua-ying Problem §1、 一次数学危机 所谓数学危机，指是在数学发展的某个历史阶段中，出现了一种相对激化的、涉及整 个数学理论基础的矛盾。“ 元前5 世纪，一个希腊人，Pythagoras 学派的Hippasus ，发现 了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，从而导致了数学的第一次危机。”。事情是这 样，当时人们还处在刚刚从自然数概念脱胎换骨而形成有理数概念的早期阶段，对于无理 数的概念是一无所知。因此，当时人们的普遍见解是确信一切量均可用有理数来表示，亦 就是说，在任何精确度的范围内的任何量，总能表示为有理数，这在当时，已成为希腊人 的一种普遍信仰。这也是Pythagoras 学派的信条，在Pythagoras 看来，不仅深信数的和谐 与数是万物之本源，而且宇宙间的一切现象都能归 为整数或整数比。另外，Pythagoras 学派的重大贡献之一是证明了勾股弦定理，也就是直角三角形两直角边之平方和等于斜边 的平方，然而Hippasus 指出：取一直角边均为1 的等腰直角三角形，如果其斜边为整数比， 约去分子分母间的 因数后为m n ，那么m 与n 中至少有一个数是奇数，由勾股弦定理知 2 2 2 m 2 2 2 2 有： ，于是2 m n m 2n ，故，所以m 是偶数，那么，一方面由于 1 1 n 与 中必有一个是为奇数而知 为奇数，另一方面，既然 为偶数，当可表为m 2k ， m n n m 于是4k 2 2n2 ，故n2 2k 2 ，因而n 亦为偶数，矛盾。这表明所说的等腰直角三角形之 斜边无法用整数或整数之比去表示。这就严重触犯了Pythagoras 学派的信条，同时也冲击 了当时希腊人的普遍见解，不能不使人们感到惊奇不安。直接动摇了这个历史的数学基础， 传统观念受到了挑战。Hippasus 的这一发现，也被叫做Hippasus 悖论。相传Pythagoras 学 派因此而将Hippasus 投入海中处死，因为他在宇宙间搞出了一个直接否定他们学派信条的 怪物，而且他不顾学派的规定，敢于向学生披露新的数学思想。当然，Hippasus 的伟大发 现是淹不死的，它以顽强的生命力而被广为流传，迫使人们去认识和理解 “整数及整数比 （有理数）不能包括一切几何量”。这种危机局面的出现，也进一步 使人们，从依靠直观 感觉与经验而转向依靠证明，推动了 理几何学与逻辑学的诞生和发展。 §2 、 四次数学危机 42 四次数学危机实指1965 年模糊数学创始人L.A.Zadeh