第十九讲：奥赛的技巧(中篇).docVIP

第十九讲：奥林匹克数学的技巧（中篇） 1 配对 配对的形式是多样的，有数字的凑整配对或共轭配对，有解析式的对称配对对或整体配对，有子集与其补集的配对，也有集合间象与原象的配对。凡此种种，都体现了数学和谐美的追求与力量，小高斯求和（1+2+…+99+100）首创了配对，也用到了配对。 例1 求之值。 【解析】 作配对处理 例2 求和 【解析】解一 由把倒排，有 相加 ，得 解二 设集合，注意到 有，为了求得把每一，让它与补集配对，共有对，且每对中均有，于是 这两种解法形式上虽有不同，但本质上是完全一样的，还有一个解法见例2-149。 例3 设是给定的实数，证明存在实数使得 【解析】 这里的表示y的小数部分。 有 知，下面利用这一配对式的结论。设 ，据抽屉原理①知，必存在，使，取，由上式得 2 特殊化 特殊化体现了以退求进的思想：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系的情况，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。华罗庚先生说，解题时先足够地退到我们最易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去。 特殊化既是寻找解题方法的方法，又是直接解题的一种方法。 例4 已知恒等式 ，求实数，其中。 【解析】 对取特殊值，当时，有，故有（1） （2），又取（即比较常数项系数），有 （3），比较的系数（考虑特殊位置），有（4），由④得 代入（1），得，代入原式左边，有 ，故知。也可以将的值代入（3）、（2）求，但要检验排除增根。 例5 已知为常数，，且，求证 是周期函数。 分析 作特殊化探索。求解的困难在于不知道周期，先特殊化，取一个满足条件的特殊函数且，有 但的周期为。猜想：是周期。 【解析】 由已知有，据此，有，得证为周期函数，且为一个周期。 例6 在平面上给定一直线，半径为厘米（是整数）的圆以及在圆内的条长为1厘米的线段。试证在给定的圆内可以作一条和给定直线平行或垂直的弦，它至少与两条给定的线段相交。 分析 特殊化，令，作一个半径为1的圆，在圆内作四条1厘米长的线段，再作一条与已知直线L垂直的直线L’（图2-63） 现从结论入手，设AB∥L并与两条弦相交，则交点在L’上的投影重合，反之，如果四条线段在L或L’上的投影有重合点，则从重合点出发作垂线即可。 由特殊化探索出一个等价命题：将给定的线段向已知直线L或L的垂线作投影时，至少有两个投影点重合。 这可以通过长度计算来证实。 【解析】 设已知直线为L，作L’⊥L，又设条线段为，每一条在L，L’上的投影长为，有。由，得，从而，两个加项中必有一个不小于厘米，但圆的直径为厘米，故在L或L’的投影中，至少有两条线段的投影相交，过重迭点作L或L’的垂线即为所求。（将表示为三角函数运算更方便） .（例2-51）的求解过程，实质上是对表达式中函数的三个表达式分别取值为 3 一般化 推进到一般，就是把维数较低或抽象程度较弱的有关问题转化为维数较高、抽象程度较强的问题，通过整体性质或本质关系的考虑，而使问题获得解决，离散的问题可以一般化用连续手段处理，有限的问题可以一般化用数学归纳法处理，由于特殊情况往往涉及一些无关宏旨的细节而掩盖了问题的关键，一般情况则更明确地表达了问题的本质。波利亚说：“这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握，较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。” 希尔伯特还说：在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的只不够是一连串有关问题的一个环节。 例7 求和 【解析】 引进恒等式 ，对求导 令，得。这实质是将所面临的问题，放到一个更加波澜壮阔的背景上去考察，当中既有一般化、又有特殊化。 例8 1985个点分布在一个圆的圆周上，每个点标上+1或-1，一个点称为“好点”，如果从这点开始，依任一方向绕圆周前进到任何一点时，所经过的各数的和都是正的。证明：如果标有-1的点数少于662时，圆周上至少有一个好点。 【解析】 这里662与1985的关系是不清楚的，一般化的过程其实也就是揭示它们内在联系的过程，可以证明更一般性的结论：在个点中有个-1时，“好点”一定存在。 （1）时，如图2-64，A、B、C、D标上+1，则B、C均为好点。 （2）假设命题当时成立，即个点中有个-1时，必有好点。 对，可任取一个-1，并找出两边距离它最近的两个+1，将这3个点一齐去掉，在剩下的个点中有个-1，因而一定有好点，记为P。现将取出的3个点放回原处，因为