专题：一元二次不等式的几点解法.docVIP

一元二次不等式及其解法目标认知学习目标：重点：难点：知识要点梳理知识点一：一元二次不等式的定义.　　任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或. 知识点二：一般的一元二次不等式的解法或的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集.　 　设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表： 二次函数（）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注意：　　（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；　　（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；　　（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。知识点三：解一元二次不等式的步骤，计算判别式： 　 　　　①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；　 　　　②时，求根；　 　　　③时，方程无解 　　（3）根据不等式，写出解集.知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程规律方法指导经典例题透析类型一：解一元二次不等式1．解下列一元二次不等式　　（1）； （2）； （3）　　思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.　　解析：　　（1）方法一：　　　　 因为　　　　 所以方程的两个实数根为：，　　　　 函数的简图为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 因而不等式的解集是.　　　　 方法二：　　　　 或　　　　 解得 或 ，即或.　　　　 因而不等式的解集是.　　（2）方法一：　　　　 因为，　　　　 方程的解为.　　　　 函数的简图为：　　　　　　　　　　　　　　　 所以，原不等式的解集是　　　　 方法二：　　　　 （当时，）　　　　 所以原不等式的解集是　　（3）方法一：　　　　 原不等式整理得.　　　　 因为，方程无实数解，　　　　 函数的简图为：　　　　　　　　　　　　　　　　 所以不等式的解集是.　　　　 所以原不等式的解集是.　　　　 方法二：　　　　 ∵　　　　 ∴原不等式的解集是.　　总结升华：　　1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；　　2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.　　3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.　　举一反三：　　【变式1】解下列不等式　　(1) ；　　　(2) 　　(3) ； 　　　(4) .　　【答案】　　（1）方法一：　　　　 因为　　　　 方程的两个实数根为：，　　　　 函数的简图为：　　　　　　　　　　　　　 因而不等式的解集是：.　　　　 方法二：　　　　 ∵原不等式等价于,　　　　 ∴ 原不等式的解集是：.　　（2）整理，原式可化为,　　　　 因为,　　　　 方程的解，，　　　　 函数的简图为：　　　　　　　　　　　　　　　　 所以不等式的解集是.　　（3）方法一：　　　　 因为　　　　 方程有两个相等的实根：，　　　　 由函数的图象为：　　　　　　　　　　　　　　 原不等式的的解集是.　　　　 方法二：　　　　 ∵ 原不等式等价于：,　　　　 ∴原不等式的的解集是.　　（4）方法一：　　　　 因为，方程无实数解，　　　　 由函数的简图为：　　　　　　　　　　　　　　　　 原不等式的解集是.　　　　 方法二：　　　　 ∵，　　　　 ∴ 原不等式解集为.　　【变式2】解不等式：　　【答案】原不等式可化为不等式组　　　　　　，即，即，　　　　　　解得　　　　　　∴原不等式的解集为.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。　　思路点拨：由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 　　解析：由题意可知方程的两根为和　　　　　由韦达定理有，　　　　　∴，　　　　　∴化为，即　　　　　，解得，　　　　　故不等式的解集为.　　总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。　　举一反三：