【高考调研】2014届高考数学总复习 第九章 解析几何 课时作业56(含解析)理 新人教A版.docVIP

课时作业(五十六) (第二次作业) 1．如右图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　) A.　　　　　　　　　　B. C. D. 答案　B 解析　本题考查空间向量的运算．设正方体的边长为2，建立如右图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(－1,0,2)， ＝(－1,1,1)． cos，＝＝＝. 2. 以等腰RtABC的斜边BC上的高AD为折痕，将ABC折起(如图)，使折起后的ABC恰好为等边三角形．M为高AD的中点，则直线AB与CM所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D．－ 答案　C 解析　 设直角边AB＝AC＝2，则BC＝2. 取BD中点N，连接MN， 则MNAB，所以NMC即为所求． MN＝AB＝1，MC＝＝NC， 在NCM中，由余弦定理可得cosNMC＝. 3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α＋β等于(　　) A．120° B．60° C．75° D．90° 答案　D 解析　建立如图坐标系，设正方体棱长为2. B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)． 则＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)． cos〈，〉＝，cos〈，〉＝. cosα＝，cosβ＝，sinβ＝，α＋β＝90°，故选D. 4．如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，PDA＝60°. (1)求DP与CC′所成角的大小； (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小． 解析　如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D－xyz. 则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)． 连接BD，B′D′. 在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H. 设＝(m，m,1)(m0)，由已知〈，〉＝60°，由 ·＝||||cos〈，〉， 可得2m＝. 解得m＝，所以＝(，，1)． (1)因为cos〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°. (2)ABCD－A′B′C′D′为正方体， CD⊥平面AD′. 为平面AD′的一个法向量，＝(0，－1,0)． 又＝(，，1)， cos〈，〉＝＝－. DP与平面AA′D′D所成角为30°. 5. 已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点． (1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值； (2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的余弦值． 解析　(1)分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建系． AD⊥平面ABB1A1，BD与平面AA1B1B夹角为30°， DBA＝30°.AE⊥BD， E(，，0)，B(2,0,0)，F(1,0,1)． ＝(，，0)，＝(－1,0,1)，cos〈·〉＝－. AE与BF所成角的余弦值为. (2)＝(－1,0,1)，＝(－2，，0)， 平面BDF法向量a＝(1，，1)， 平面AA1B法向量b＝(0,1,0)， cos〈a，b〉＝. 平面BDF与平面AA1B所成二面角的余弦值为. 6．(2013·石家庄质检)四棱锥A—BCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形． (1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BFCM，请说明理由； (2)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°.求直线AD与平面ABE所成角的正弦值． 解析　(1)由俯视图可知平面ABC平面EBCD. 又BC＝2，O为BC中点，BE＝1，CD＝2. ABC为等边三角形，F为AC中点， BF⊥AC. 又平面ABC平面EBCD，且DCBC， DC⊥平面ABC，DC⊥BF. 又AC∩CD＝C，BF⊥平面ACD. BF⊥CM. (2)以O为原点，为x轴，为z轴建系． B(－1,0,0)，C(1,0,0)，E(－1,1,0)，D(1,2,0)． 设A(0,0，a), 由题意可知平面ABC的法向量为(0,1,0)． 设平面ADE法向量n＝(x，y，z)． ＝(2,1,0)，＝(1，－1，a)， 令x＝1，y＝－2，z＝. n＝(1，－2，－)． ＝|cosθ|＝，解得a＝. 由线面角向量知识，可得sinθ＝. 7．(2011·全国新课标理)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB＝60°，AB＝2AD，PD底面ABCD. (1)证明